WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Eigenvectoren en eigenwaarden

Dit is een reactie op vraag 48203

Bedankt om me te helpen,

In de opgave staat niet voor alle vectoren V en W, er staat gewoon er geldt: V,W elementen van het vectorvlak:
f(V)+V=f(W)+W.
Ik heb nu ook zitten verder denken en ik bekom het volgende:
f(V)+V=f(W)+W
f(V)-f(W)=W-V
f(V-W)=W-V want f is een lineaire transformatie en dus ook een lineaire afbeelding (en dan beeld van de som is de som van de beelden)
f(V-W)=-1.(V-W)
V-W is dus een eigenvector van f met eigenwaarde -1
Als ik dit invul in de eigenwaardenvergelijking r²+D=0 dan kom ik uit: D=1
Zou dit kunnen kloppen?,

mvg,
Sam Derademaeker

Sam De
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 26 december 2006

Antwoord

Ja, dat is inderdaad de goede methode! Je conclusie dat V-W een eigenvector is bij de eigenwaarde -1 klopt in elk geval. Hopelijk is dan gegeven dat V verschilt van W, anders heb je gewoon staan dat f(0)=-1*0, dus 0=0, en dan kan je daaruit niet besluiten dat die -1 een eigenwaarde is. Maar dat zal wel, anders is de opgave nogal belachelijk... Je maakt alleen een klein tekenfoutje op het einde: als r=-1 een eigenwaarde is, en dus een oplossing van de eigenwaardevergelijking r²+D=0, dan volgt daaruit dat D=-r²=-1.

Dat dit niet compatibel is met die oplossing die ik eerst gaf (die transformatie met matrix
(-1 0)
(0 -1)
heeft immers determinant +1) komt omdat deze niet voldoet aan de eis dat het spoor van de determinant gelijk is aan nul.

Dus daarmee heb je die vraag correct opgelost, je kan eventueel nog even een voorbeeldje opstellen dat nagaat dat dit inderdaad klopt: probeer eens de lineaire transformatie op te stellen die (1,0) afbeeldt op (0,1) en (0,1) afbeeldt op (1,0), zodat als je V=(1,0) stelt en W=(0,1), je hebt dat f(V)+V=f(W)+W=(1,1).

Je zal makkelijk vinden dat deze als matrix heeft
(0 1)
(1 0)
met dus inderdaad als determinant -1 en spoor 0.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 26 december 2006