De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Hallo,

Gevraagd is om volgende differentiaalvergelijking op te lossen:

(2xy)/(x2+1) = x-y'

We zouden moeten uitkomen: y= (x4 + 2x2 + c) / 4∑(x2+1)

Zelf dacht ik:
y' + ((2x) / (x2+1))∑y = x

Integregerende factor berekenen:
e^Ú((2x)/(x2+1))dx

= e^ (2ln|x| + x2)
= x2 + e^(x2)

De vergelijking wordt dan:

e^(x2)∑y' + y'x2 + ((2x)/(x2+1)) ∑ y ∑ (e^(x2) + x2) = x∑ (x2 + e^(x2))

Na integratie van beide leden:

y = (x4 + xex) / 4∑(e^(x2) + x2)

Graag een handje hulp, want ik geraak er echt niet uit...

Alvast bedankt!!!

Groetjes

Elke
Student universiteit BelgiŽ - donderdag 2 november 2006

Antwoord

Zie ODE in t met functie afhankelijk van t voor iets soortgelijks.

Met het omgooien van de dv in de vorm
y' + ((2x)/(x2+1)).y = x
was je al een aardig eind in de goede richting.
Het gaat dus om een dv van de vorm y' + p(x).y = q(x)
met p(x)=(2x)/(x2+1) en q(x)=x

De integrerende factor is:
I(x) = exp{Ú((2x)/(x2+1))dx} = exp{Ú(1/(x2+1))d(x2+1)}
= exp{ln(x2+1)} = x2+1
(Dit is het punt waarop t even niet goed ging bij jullie poging..)

de dv is nu van de vorm d(yI)/dx = I.q(x)

ofwel
d(y.(x2+1))/dx = (x2+1).x ř
y(x2+1) = 1/4x4 + 1/2x2 + C Ř
y = (1/4x4 + 1/2x2 + C)/(x2+1)

hetgeen hetzelfde is als
y = (x4 + 2x2 + C2)/4(x2+1)

groeten,
martijn

mg
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 2 november 2006



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3