De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

De definitie van meetbaarheid

Hallo wisfaq,

Ik wil graag laten zien dat de volgende twee definities van meetbaarheid equivalent zijn:

Def1.Een deelverzameling E van de R^n(R de reele getallen) is (Lebesque) meetbaar als er voor iedere e0 een open verzameling O bestaat met E bevat in O en m_*(O-E)=e.

Def2.E is meetbaar als voor er voor iedere e0 een gesloten verzameling F bestaat bevat in E met m_*(E-F)e.

Nu heb ik een lemma gevonden die hier mee te maken heeft: (CE staat voor het complement van E, en m(E)=m_*(E)):
Lemma.
Een verzameling E in de R^n is meetbaar d.e.s.d.a. gegeven een e0, er een gesloten deelverz. F in E bestaat zodat
m(E-F)e.
Bewijs
E is meetbaar d.e.s.d.a. CE meetbaar is.Hieruit volgt:
CE is meetbaar d.e.s.d.a. gegeven een e0, bestaat er een open verz. O met CE in O en m(O-CE)e.
Zo'n O bestaat d.e.s.d.a. de verz. F=CE gesloten is, F is in E, en m(E-F)e, want O-CE=E-F.

Maar ik begrijp niet hoe ik de equivalentie moet bewijzen.Volgens moet ik iets uit het bewijs van dit lemma gebruiken, of is de equivalentie met dit lemma al bewezen?

Groeten,

Viky

viky
Student hbo - maandag 16 oktober 2006

Antwoord

Om te beginnen: het lemma zegt niets anders dan dat definitie 1 en definitie 2 equivalent zijn; het bewijs gebruikt dat al bewezen is dat de (Lebesgue-)meetbare verzamelingen een sigma-algebra vormen, in het bijzonder dat het complement van een meetbare verzameling weer meetbaar is. De enige manier om dat laatste te bewijzen is, in mijn ogen, eerst bewijzen dat definities 1 en 2 equivalent zijn ... zo kom je in een cirkelredenering terecht.
Om die cirkel te breken moet je de equivalenties van de definities rechtstreeks aantonen. Het volledige bewijs is nogal omvangrijk; ik geef daarom de belangrijkste stappen.
1. Neem eerst aan dat E begrensd is. Neem e0 en daarbij een open verzameling O zo dat m*(O\E)e we mogen aannemen dat O begrensd is. Uit de definitie van m* halen we een open verzameling V waar O\E in zit en zo dat m*(V)e. De verzameling O is de vereniging van een stijgende rij gesloten verzamelingen (Fk). Dan is er een n zo dat m(O\Fk)e (dit zou al bewezen moeten zijn: voor open en gesloten verzamelingen gebraagt m* zich als een maat). Neem nu G=Fk\V, dan is G gesloten, G zit in E, en m*(E\G)m*(O\G)2e.
2. Als E niet begrensd is pas je het voorgaande toe op de doorsnede van E met elke n-kubus van de vorm [i,i+1]x[j,j+1]x...; die kun je aftellen in een rijtje (Kk) zorg dat voor de Fk die je binnen de doorsnede Ek van E met Kk vind de ongelijkheid m*(Ek\Fk)e/2k geldt. Dan is de vereniging van all Fk als gewenst.
3. Iets dergelijks werk voor de omgekeerde implicatie: eerst het begrensde geval. Gegeven e en F maak je V om E\F met m*(V)e en ook een open U om F met m*(U\F)e; neem dan voor O de vereniging van U en V. Daarna het willekeurige geval: weer E met alle kubussen Kk snijden en Ok met m*(Ok\Ek)e/2k vinden. Neem dan voor O de vereniging van alle Ok.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 3 november 2006



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3