De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Compacte en positieve operatoren

 Dit is een reactie op vraag 46597 
Hallo,

Ik heb nog enkele vragen over het bewijs:

bewijs
T is zelfgeadj. en compact dus we mogen de spectraalstelling gebruiken:
T=som(li,Pi)

vraag1.Kan ik ook schrijven Tx=som(li(x,ei)ei)?Wat is de uitdrukking voor T?

T is positief dus alle li =0.
Laat ui=(li)^(1/m) en defineer S=som(ui,Pi), dan is Sm=T.

vraag2.Kan ik hier ook schrijven Sx=som(ui(x,ei)ei)?

Er moet nog aangetoond worden dat S positief en compact is.

vraag3.Compactheid van S:
In het bewijs van stelling2 gaat dit als volgt,
De compactheid volgt uit

||S-som(ui(.,ei)ei)|| = sup ui -0

de som gaat van i=1 t/m N, ui=(li)1/2, het supremum wordt genomen over alle iN.

en stelling1.

vraag4.Hier is m=2, maar geldt het ook voor m2?
vraag5.De spectrstel. geeft ook dat ||T||=sup|li|,sup over alle i.Waarom is ||S-som(...)|| = sup|ui|?En waarom gaat deze naar 0?

Groetjes,
Viky

viky
Student hbo - zondag 17 september 2006

Antwoord

1. Dat hangt er van af wat je met ei bedoelt: als je een vooraf gegeven basis van H bedoelt dan niet. Echter, als je voor elke positieve eigenwaarde l een (eindige!) orthonormale basis voor de bijbehorende eigenruimte kiest en die bases samenvoegt tot een orthonormaal stelsel {ei} dan kun je Tx inderdad zo schrijven. Er is apriori geen vaste schrijfwijze voor T; de scrijfwijze hierboven volgt uit de spectraalstelling.
2. Dit is inderdaad ook een schrijfwijze voor S.
3. Er geldt ||Sx-som(mi(x,ei)ei,iN)||2 = ||som(mi(x,ei)ei,iN)||2 = som(mi2(x,ei)2,iN) sup(mi2,iN)*||x||2; trek nu links en rechts de wortel, dan heb je de afschatting voor ||S-som(...)||. Uit de compactheid van T volgt dat limli=0, dus ook limmi=0.
De`waarde van m is hier niet belangrijk.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 19 september 2006



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3