De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Compacte en positieve operatoren

Hallo wisfaq,

Laat H een complexe Hilbertruimte zijn en stel dat T een compacte en positieve operator is in B(H).Ik wil laten zien dat er voor iedere m in {1,2,3,...} een compacte en positieve operator S bestaat in B(H) zodat S^m=T.

Ik denk dat ik het volgende kan gebruiken bij het bewijs, maar misschien kan het ook anders:

Stelling1.Als X een genormeerde ruimte is, Y een Banachruimte en {T_k} is een rij van begrensde, eindige operatoren die convergeert naar T in B(X,Y), dan is T compact.

Stelling2.Laat T in B(H) zelfgeadjungeerd zijn en positief.Dan bestaat er een positieve zelfgadj. operator S in B(H) met S^2=T.Men schrijft S=T^(1/2).

Representatie voor Tx: Tx=som{l_n*(x,e_n)*e_n}, de som gaat van n=1 t/m r(T), met r(T) het aantal eigenwaarden van T (eigenwaarden zijn ongelijk 0).
{e_n} (n=1 t/tm r(t)) is de verzameling eingenvectoren die een basis vormen voor de geconjugeerde van Im T.
{l_n} is de verz. van eigenwaarden van T.

Groeten,
Viky

viky
Student hbo - maandag 11 september 2006

Antwoord

Ik zou de spectraalstelling gebruiken: de operator is zelf-geadjungeerd en omdat hij compact is te schrijven als som(liPi,i=1..r), waarbij r het aantal eigenwaarden ongelijk nul is en Pi de bij li behorende eigenruimte (omdat T compact is convergeert de rij van eigenwaarden naar 0 als r oneindig is).
Elke li is positief; laat mi de m-demachtswortel van li zijn en definieer S=som(miPi,i=1..r); dan is S als gevraagd

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 13 september 2006
 Re: Compacte en positieve operatoren 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3