WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs voor basis

Hieronder staan 3 magische vierkanten. Ik moet nu bewijzen dat deze 3 magische vierkanten een basis vormen voor M3 (Dimensie voor alle magische vierkanten.

m1:
1 -1 0
-1 0 1
0 1 -1

m2:
0 2 1
2 1 0
1 0 2

m3:
2 3 1
1 2 3
3 1 2

Dus de vraag is bewijs dat {m1,m2,m3} een basis is voor M3!

Wie kan me helpen?
Allard
Student hbo - maandag 17 juli 2006

Antwoord

Ik neem aan dat je basis in de zin van de lineaire algebra bedoelt.
In dat geval moet je laten zien
- als vectoren met negen coordinaten vormen deze drie een onafhankelijk stelsel
- elk magisch vierkant is als lineare combinatie van deze drie te schrijven
Het eerste is niet moeilijk
Het tweede kan lastig zijn omdat je niet meteen weet hoe een willekeurig magisch vierkant er uit ziet. Maar: elk magisch vierkant is een oplossing van het volgende stelsel (we nummeren de getallen rij voor rij, van links naar rechts):
a1+a2+a3=a4+a5+a6, a1+a2+a3=a7+a8+a9, a1+a2+a3=a1+a4+a7, a1+a2+a3=a2+a5+a8, a1+a2+a3=a3+a6+a9, a1+a2+a3=a1+a5+a9, a1+a2+a3=a7+a5+a3
Als je dat oplost zul je drie vrijheidsgraden vinden en dat betekent dat de ruimte de magische vierkanten driedimensionaal is en dat die drie lineair onafhankelijke vierkanten een basis vormen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 21 juli 2006