De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijzen dat een oneindig cyclische groep isomorf is

Hallo, ik moet hier een klein bewijs leveren dat als 'G=$<$g$>$' groep is en oneindig is, en cyclisch is, dat deze isomorf is met $\mathbf{Z}$

men definieerd een functie u: Z$\to$G
k$\to$gk

ik heb al bewezen dat dit een homomorfisme is, en dat dit surjectief is: voor surjectief was ik niet 100% zeker

Voor alle 'x' element van G bestaat er een k element van Z met x = gk (g is cyclisch) en dus is x=u(k) , hiervoor is de functie surjectief.

Voor de injectiviteit weet ik het niet zo goed, ik moet dus bewijzen dat U(x1)=U(x2) $\Rightarrow$ x1=x2

Hoe zou ik hieraan beginnnen? wan ik heb het gevoel dat ik iets met de kern van U moet doen.

Bedankt

winny
Student universiteit BelgiŽ - vrijdag 6 januari 2006

Antwoord

Inderdaad, je moet bewijzen dat de kern uit alleen het punt 0 bestaat.
Stel k is niet 0 en stel u(k)=e. Dan kun je bewijzen dat u(n+k)=u(n) voor alle n en daaruit volgt dan dat G={e,g,g2, ...,gk-1}. Maar dan zou G eindig zijn ...
Je bewijs van de surjectiviteit is correct.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 8 januari 2006



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3