De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Oplossing differentiaal vergelijking

ik zit opnieuw met een vraag van een oud tentamen.
de opdracht is:
van de oplossing y1 van de DV dy/dx +y/(2x) = 1/2x) is gegeven:y1(1)=2. Bepaal y1(4) (aanwijzing los de DV op, e^x is een integrerende factor).
Het antwoord op y1(4) moet zijn 1+e^-1

Dit zijn de stappen die ik heb gedaan:
y(x)=1/I(x) I(x)f(x)
dus y(x)= 1/e^x * e(^x) * 1/(2x)

u=e^x
du= e^x +1/(2x)

y(x)= 1/e^x* u*du = 1/e^x + 1/2u^2 +C
y(x)= 1/e^x + 1/2e^x +C
y(x)= 1/e^x + e^x +C

y(1)=1/e + 1/2e +C =2
Vervolgens kom ik op een spoor, welke niet leidt tot het goede antwoord. Waar zit de fout? en hoe moet ik op het antwoord komen?

Jerney
Student universiteit - woensdag 17 augustus 2005

Antwoord

Beste Jerney,

f'(x) + f(x)/2(x) = 1/2(x) Vermenigvuldig beide leden met de nog onbekende functie g(x)0.
f'(x)g(x) + (f(x)/2(x))g(x) = 1/2(x)g(x)
We willen het linkerlid schrijven als (f(x)g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x) want dan hebben we een eenvoudiger linkerlid als we daarna integreren.

Dat betekent dat g'(x) = (1/2x)g(x) en dus g'(x)/g(x) = 1/2x (g(x)0). Beide leden integreren levert ln|g(x)| = (x) + c en dus g(x) = de(x) waarbij d een willekeurige constante, kiezen we d = 1 dan hebben we de integrerende factor g(x) = e(x) gevonden!
Dus f'(x)g(x) + (f(x)/2(x))g(x) = 1/2(x)g(x) wordt met g(x) = e(x) dus (f(x)e(x))' = e(x)/2(x)

(f(x)e(x))' dx = e(x)/2(x)dx

f(x)e(x) = e(x) + c

f(x) = 1 + c/e(x) Met f(1) = 2 vinden we c = e en de "oplossingsfunctie" is dus f(x) = 1 + e1 - (x).

Dus f(4) = 1 + e1 - (4) = 1 + e-1.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 18 augustus 2005



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3