De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Wortel 2 is irrationeel

Hallo,
Ik heb twee manieren gelezen hoe je de irrationaliteit van wortel 2 kan bewijzen. De 1e manier is mij duidelijk, maar de 2e manier vind ik wat lastiger te begrijpen.

2e manier:
veronderstel:
2=p/q <-> 2=p^2/q^2 -> p^2=2*q^2
Nu heeft de linker gedeelte bij priemontbinding een even aantal 2 maar de rechter kant heeft er een 2 meer.Contradictie.
Dus is 2 irrationeel. Wat ik niet begrijp is hoe men de irrationaliteit van 2 door middel van priemontbinding kan bewijzen? Ik heb mijn best gedaan om het te begrijpen maar het lukt me maar niet.
Hopelijk kunt u mij beter informeren.

dank u wel.
met vriendelijke groeten,
Ahmet

Ahmet
Student universiteit - woensdag 31 juli 2002

Antwoord

Hallo Ahmet,

Stel 2 = p/q

Daarbij hebben p en q geen gemeenschappelijke delers, anders hadden een kleinere p en q gekozen kunnen worden.
Dit betekent dus dat hooguit 1 van deze twee getallen even is.

Je had zelf ook al gevonden dat:

p2 = 2q2

Hieruit (omdat rechts even is door de factor 2) kun je concluderen dat p even moet zijn (en dus q oneven). Maar daarmee is het meteen p2 een 4-voud.

Daar volgt weer uit dat q2 een tweevoud is en daarmee zou q even moeten zijn. Maar q kon alleen maar oneven zijn omdat p al even is. Tegenspraak dus!!!

Zie vraag 264

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 1 augustus 2002



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3