De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Een goed te begrijpen bewijs voor de volgende stelling

Weet iemand een goed te begrijpen bewijs voor de stelling: De oppervlakte van een driehoek met zijden a, b en c is gelijk aan √(s(s-a)(s-b)(s-c)) waarbij s=1/2(a+b+c).

Gerard
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - zaterdag 21 mei 2005

Antwoord

Hallo Gerard,

Het bewijs moet sluitend zijn voor alle driehoeken, dus ik ga uit van onderstaande willekeurige driehoek. Zonder rechte hoek dus.
q38312img3.gif
We zien 2 Pythagoras driehoeken: ABD en ADC.
Hierbij horen de vergelijkingen: c2=h2+x2 en b2=h2+(a-x)2
Ofwel: h2=c2-x2 en h2=b2-(a-x)2
Hieruit volgt: c2-x2=b2-(a-x)2 Zo ook: c2−x2=b2−(a2− 2ax+x2)
En: c2−x2=b2−a2+2ax−x2 En: c2=b2−a2+2ax
Dus: 2ax=a2−b2+c2
Conclusie: x=a2−b2+c2/2a

Deze x nu invullen in: h2=c2-x2=(c - x)(c + x)
Dit levert: h2=(−a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a+b+c)/4a2

Nu komt de s erbij, om bovenstaande vergelijking te vereenvoudigen. De nieuwe letter s staat voor de halve omtrek, dus 1/2(a+b+c).
We krijgen nu de volgende vergelijkingen:
(a+b+c)=2s
(-a+b+c)=2s-2a
(a+b-c)=2s-2c
(a-b+c)=2s-2b

De eerder gevonden formule: h2=(−a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a+b+c)/4a2 gaat dus nu over in:
h2=2s(2s−2a)(2s−2b)(2s−2c)/4a2
Dus: h2=4s(s-a)(s-b)(s-c)/a2
Dus: h=2√s(s-a)(s-b)(s-c)/a

En omdat (kijkend naar het beginplaatje) de oppervlakte van de driehoek ah/2 is, is nu de oppervlakte van de driehoek dus ook:
√s(s-a)(s-b)(s-c)

Zo kun je dus de oppervlakte van elke willekeurige driehoek berekenen als de de drie zijden weet.
Duidelijk Gerard?

Groeten, FV

Zie De formule van Heron

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 21 mei 2005
 Re: Een goed te begrijpen bewijs voor de volgende stelling 
 Re: Een goed te begrijpen bewijs voor de volgende stelling 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3