De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Een moeilijk bewijs

Kan iemand me helpen met dit bewijs:

Gegeven:
a+b c+1
b+c a+1
c+a b+1
voor a, b en c 0.
Laat zien dat a2+b2+c2 2abc+1.

Ik kom tot : a(2-c-b)+c(2-b)+2b+1 abc

Alvast bedankt

Mohame
2de graad ASO - dinsdag 17 mei 2005

Antwoord

Beste Mohamed,

Uit optellen van de eerste twee ongelijkheden vinden we dat b1. Net zo vinden we dat a1 en c1.

We moeten aantonen dat (beetje herschreven)

a2+b2+c2-2abc-10 [1]

Het gelijkteken geldt als (abc-formule):

a = bc ((b2-1)(c2-1)).

Voor a tussen bc - ((b2-1)(c2-1)) en bc + ((b2-1)(c2-1)) (inclusief grenzen) voldoet [1] dus.

  1. We kunnen ons afvragen wat er gebeurt als we a bc + ((b2-1)(c2-1)) nemen. Het is de vraag of dan nog wel a+bc+1 en a+cb+1 geldt. Dat blijkt al moeilijk als a = bc + ((b2-1)(c2-1)). We gaan zonder beperking van de algemeenheid uit van bc en onderzoeken of dan a+bc+1, ofwel a+b-c-10, de moeilijkste van de twee voorwaaarden, nog voldoet.

    De vergelijking a+b = c+1 levert

    bc + ((b2-1)(c2-1)) + b = c+1
    ((b2-1)(c2-1)) = 1 + c -bc - b
    (b2-1)(c2-1) = 1 + 2c - 4bc - 2b + c2 - 2bc2 + 2b2c + b2 + b2c2
    0 = c - 2bc - b + c2 -bc2 + b2c + b2
    0 = (c+1)(b-1)(b-c)

    Als we oplossen naar b, dan zien we dat de oplossingen zijn b=1 en b=c. Dus a+b-c-1=0 voor die twee gevallen. Ook duidelijk is dat voor b=0 de ongelijkheid a+b-c-10 geldig is. Met b als variabele vindt er tekenwisseling plaats bij b=c en bij b=1. Dus voor c b 1 is a+bc+1 niet geldig, en kunnen we concluderen dat als a = bc + ((b2-1)(c2-1)) niet wordt voldaan aan a+b=c+1. Laat staan als a nog groter wordt.
    Blijven nog de gevallen b=c en b=1. Dan is a+b = c+1. Maar dat betekent dat als a bc + ((b2-1)(c2-1)), dat dan a+b = c+1 niet meer geldt.

  2. Dan kunnen we ons afvragen wat er gebeurt als a bc - ((b2-1)(c2-1)) . Geldt dan nog b+c a+1 ofwel b+c-a-10? Net als boven nemen we a = bc - ((b2-1)(c2-1)) en lossen b+c=a+1 op.

    b + c = 1 + bc - ((b2-1)(c2-1))
    ((b2-1)(c2-1)) = 1 + bc - b - c
    (b2-1)(c2-1) = 1 - 2c + 4bc - 2b+ c2 - 2bc2 + b2c2 - 2b2c + b2
    0 = -c + 2bc - b + c2 - bc2 - b2c + b2
    0 = (b-1)(c-1)(b+c)

    Weer oplossen naar b levert b=-c en b=1. We nemen tussen deze twee grenswaarden b=0, en constateren dat de voorwaarde b+ca+1 dan luidt c1 - (1-c2). En deze voorwaarde voldoet niet voor 0c1. We zien immers dat 0 en 1 de oplossingen zijn van de vergelijking c = 1 - (1-c2), en dat voor c= 1/2 de ongelijkheid c1 - (1-c2) niet klopt. Conclusie is dat met a = bc - ((b2-1)(c2-1)) voor -c b 1 de voorwaarde b+c a+1 niet voldoet. Alleen de grens b=1 zou nog wat kunnen opleveren, dan geldt b+c = a+1. Maar als a bc - ((b2-1)(c2-1)) nemen, dan geldt b+ca+1 ook niet meer als b=1.


En ongelijkheid [1] is bewezen door te laten zien dat situaties waarin [1] niet geldt leiden tot strijdigheid met de voorwaarden.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 20 mei 2005



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3