De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Stelsel van vergelijkingen oplossen

Gegeven het volgende stelsel van vergelijkingen:
27a + 9b + 3c + d = 4
64a + 16b + 4c + d = 10
125a + 25b + 5c + d = 20
216a + 36b + 6c + d = 35

Ik kom uit op c = -1/6, maar kom geen stap verder en betwijfel of dat klopt. Kunt u mij uitleggen wat ik moet doen?

Met vriendelijke groet

R. Suy
Student hbo - donderdag 27 januari 2005

Antwoord

Beste,

Je weet hoogstwaarschijnlijk dat je dit kunt oplossen met Gauss-eliminatie (werken naar de bekende 'trapvorm').
Maar je kunt het ook anders aanpakken. Je kunt als je geen zin heb om na te denken een algemene regel toepassen die je alle a,b,c en d's geeft. Je past dan de zogenaamde Regel van Cramer toe. Eerst herschrijf je het stelsel. Je zorgt ervoor dat de coŽfficiŽnten in ťťn matrix staan en dat de onbekenden in ťťn matrix staan, en zů dat ze na vermenigvuldigen hetzelfde als links van de '=' staat. Rechts staat waar het aan gelijk moet zijn.
Ik bedoel het volgende
q33319img1.gif
Zie je dat als je de vermenigvuldiging hebt uitgevoerd er precies hetzelfde staat?
Om nu die a,b,c en d's te vinden gaan we de regel van Cramer gebruiken. Informeel zou je die regel als volgt kunnen geven: "Kijk op welke plaats de onbekende die je wilt weten staat [in de tweede matrix]. Vervang de kolom (die overeenkomt met de plaats van de onbekende) in de coŽfficiŽntenmatrix met de 'uitkomst-matrix'. De onbekende kan gevonden worden door de determinant van de nieuwe matrix te berekenen en die te delen [als deling is toegestaan] door de determinant van de oorspronkelijke coŽfficiŽntenmatrix".
Dit klinkt misschien heel moeilijk, maar 't is verbluffend eenvoudig. Ik heb de onbekenden met een apart kleurtje aangegeven en de bekenden met rood aangegeven.
q33319img2.gif
De a staat op de eerste plek in de onbekenden-matrix hierboven, dus vervangen we de eerste kolom van de coŽfficiŽntenmatrix door de rode bekenden-matrix.
Rest nu nog de vraag hoe je een determinant berekent. Dat kan je m.b.v. grafisch rekenmachine of met bv. Maple.
Maar handmatig kan ook. Ik ga je niet vervelen met de details, maar een manier is via kolomontwikkeling.
q33319img3.gif
Je schrijft het eerste element van de eerste kolom op (de rood omkaderde 4 schrijf je op als de blauwe 4 met hokje). Dan streep je de bijbehorende rij en kolom weg (waar de 4 in stond). De determinant van de kleinere matrix schrijf je achter de zojuist opgeschreven 4 (zie blauwe matrix).
Dan herhaal je de procedure maar dan met het tweede element van de eerste kolom, de 10. MAAR je zet om de beurt een minteken (eigenlijk is dit (-1)rijindex + kolomindex, maar dat komt op hetzelfde neer).
Daarom staat er -10∑det(...). Je schrapt weer de rij en de kolom waar de 10 in stond en vermenigvuldigt de -10 met de determinant van de nieuwe matrix.
Hetzelfde voor 20 en 35.

Nu kun je de determinant berekenen want op deze manier wordt de oorspronkelijke determinant steeds kleiner totdat je ťťn getal uitkrijgt (de determinant van de matrix). Ik heb de eerste determinant (zie blauw) helemaal uitgewerkt. Je kunt de andere zelf uitwerken op dezelfde manier.

Nu kun je alle onbekenden vinden via de volgende berekeningen.
q33319img4.gif
Maar ik geef toe dat het veel tijd kost en dat slim vegen sneller gaat, maar deze manier werkt algoritmisch.
Via Maple geeft solve({27*a+9*b+3*c+d=4,64*a+16*b+4*c+d=10,125*a+25*b+5*c+d=20,216*a+36*b+6*c+d=35}); je binnen no time het antwoord.

Groetjes,

Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 27 januari 2005



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3