De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Rationale oplossing van een vergelijking

Heeft de vergelijking a^b = b^a andere rationale oplossingen voor a en b dan de triviale (a=b) en a=2,b=4 en a=4,b=2 ?
Duidelijk, dat er geen andere gehele oplossingen zijn.
Ik kwam niet verder dan dan dit equivalent is met de vraag of ln(x)/x = a twee rationale oplossingen heeft voor een a tussen 1 en 1/e. NB a moet hierbij in elk geval irrationaal zijn (want e^n is irrationaal voor n rationaal).

Arno
Docent - zondag 16 januari 2005

Antwoord

Als de vraag inderdaad is: heeft ln(x)/x=a oplossingen voor 1/ea1 dan is het antwoord nee. Immers:
Kies f(x)=ln(x)/x, dan
f'(x)=(1/x*x-1*ln(x))/x2=(1-ln(x))/x
f'(x)=0 levert ln(x)=1, dus x=e.
f(e)=1/e.
q32713img1.gif
Uit bovenstaand plaatje (en/of het tekenschema van f) valt dan gemakkelijk in te zien dat 1/e het absolute maximum is van ln(x)/x.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 16 januari 2005
 Re: Rationale oplossing van een vergelijking 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb