De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Goniometrische vergelijking

 Dit is een reactie op vraag 32087 
Hoe zijn we zeker dat dit de enige oplossingen zijn?

Frans
Docent - donderdag 6 januari 2005

Antwoord

We hadden:
sin(x)+cos(x)+2sin2(x)cos2(x)=1
Dus
sin(x)+cos(x)=1-2sin2(x)cos2(x)
sin(x)+cos(x)=1-1/2sin2(2x)

(sin(x)+cos(x))2=sin2(x)+cos2(x)+2sin(x)cos(x)=1+sin(2x)
Omdat 1-1/2sin2(2x)0 kiezen we de positieve wortel en we krijgen:

(1+sin(2x))=1-1/2sin2(2x).
Kiezen we nu u=sin(2x) dan krijgen we
(1+u)=1-1/2u2, waarbij moet gelden -1u1.
Omdat voor u0 geldt (1+u)1 en 1-1/2sin2(2x)1 zijn er geen oplossingen voor u0.
Verder is in te zien dat u=0 een oplossing is. Deze oplossing komt overeen met de gevallen die in de vorige vraag zijn onderzocht.
Rest om aan te tonen dat er geen andere oplossingen zijn voor -1u0.
Links en rechts kwadrateren levert:
1+u=(1-1/2u2)2
1+u=1-u2+1/4u4
1/4u4-u2-u=0
u=0 hebben we al, dus we gaan na of voor -1u0
1/4u3-u-1=0 oplossingen heeft.
Differentieren levert 3/4u2-1=0 dus de toppen zijn voor u=4/3.
Voor u=-4/3 is er een maximum. Berekenen van dit extreem levert een negatieve waarde op voor dit maximum.
Conclusie: er zijn op -1u0 geen nulpunten.
Dus de gevonden oplossingen zijn de enige.



Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 10 januari 2005



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb