WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Symmetrische polynomen

Hoi wisfaq,

Ik wil graag de symmetrische polynomen
1. som_{n} {(T1^2)T2}
2. som_{n} {(T1^3)T2}
(de sommen gaan allemaal over n, dus in het vervolg laar ik _{n} weg)
uitdrukken in de elementaire symmetrische polynomen, met het k-de elementaire symm polyn s_k gelijk aan
s_k=som_{n} {T1T2...Tn}
Ik gebruik hier het volgende algoritme wat hoort bij de stelling:
Zij P i R=Z[T1,T2,...,Tn] eeen sym polynoom. Dan is P uniek te schrijven als een veelterm in de elementaire symmetrische polynomen s_k.Het algortitme:
a. Zij P de polynoom die je bekijkt.Orden de in P voorkomende monomen lexicografisch, dus monomen
(T1^e1)...(Tn^en) met de hoogste exponent e1 komen voorop.
b. Laat nu c*T1^e1)...(Tn^en) de lexicografisch eerste term in P zijn.
Vorm nu het monoom
s=[s1^(e1-e2)][s2^(e2-e3)]...sn^en
met lexicografisch eerste term (T1^e1)...(Tn^en), en beschouw P1=P-c*s.
Uiteindelijk wordt een plynoom Pi gelijk aan 0.

1.Zij P= som_{n} {(T1^2)T2}

L=(T1^2)T2 is lexicografisch de hoogste term in P
c=1
s=s1s2=som {(T1^2)}+3som {T1T2T3}
P1=P-cs=P-s1s2=-3som {T1T2T3}=-2s3,
dus P=s1s2-3s3.

Is dit correct?

2. P=som {(T1^3)T2}

L=(T1^3)T2
c-1
s=(s1^2)s2=[som {T1^2}+2som {T1T2}]*[som {T1T2}]
=som {T1^2}*som {T1T2}+2(som {T1T2})^2
=(?)[som {(T1^2)T2T3+som {(T1^3)T2]+2[som {(T1^2)(T2^2)}+2som {(T1^2)T2T3}](ik weet niet zeker of deze stap goed is)
=5som {(T1^2)T2T3}+som {(T1^3)T2+2som {(T1^2)(T2^2)}

Dus P1=P-cs=som {(T1^3)T2-s=-5som {(T1^2)T2T3-2som {(T1^2)T2}
L'=-5(T1^2)T2T3
c'=-5
s'=s1s3=som {T1T2T3T4}+som {(T1^2)T2T3}(ik weet niet of ik s1s3 goed berekende heb)

dus P2=P1+5s'=-2som {(T1^2)T2}+5som {T1T2T3T4}

L''=-2(T1^2)T2
c''=-2
s''=s1s2=som {(T1^2)T2}+3som {T1T2T3}

dus P3=P2+2s''=5som {T1T2T3T4}+6som {T1T2T3}

L'''=5T1T2T3T4
c'''=5
s'''=s4=som {T1T2T3T4}

dus P4=P3-5s'''=6som {T1T2T3}

L''''=6T1T2T3
c''''=6
s''''=s3=som {T1T2T3}

dus P5=0 . Dus
P=(s1^2)s3-5s1s3-2s1s2+5s4+6s3
Is dit allemaal correct?

Vriendelijke groeten en dank,Viky
viky
Student hbo - maandag 15 november 2004

Antwoord

Je notatie is wel een beetje verwarrend.
De sommen die je wil herschrijven hebben binnen de theorie van de symmetrische veeltermen een naam meegekregen, namelijk de monische symmetrische veeltermen.
vb. Jouw eerste som: m[2,1]=å_i,j x_i²x_j waarbij i,j gaan van 1 tot n maar verschillend zijn.
vb. Jouw tweede som: m[3,1]=å_i,j x_i³x_j waarbij i,j gaan van 1 tot n maar verschillend zijn.

De elementaire symmetrische veeltermen worden aangeduid met het symbool "e": e_k=å_{i₁...i_k}x_i₁×...×x_{i_k}=m[1,1,...,1] (k keer 1)

Je methode is oke.
In het eerste geval krijg je inderdaad dat
m[2,1]=e₂×e₁-3e₃
In je tweede antwoord is er echter wel ergens een fout geslopen. Het antwoord is het volgend:
m[3,1]=e₂×e₁²-2e₂²-e₃×e₁+4e₄

Je fout zit in de regel waar je niet zo zeker van was:
åx_ix_j×(åx_i)²=
= åx_ix_j×(åx_k²+2åx_kx_l)
= åx_i³x_j+2åx_i²x_j²+5 åx_i²x_jx_k+2×6åx_ix_jx_kx_l

Dus: m[3,1]=e₂×e₁²-(2åx_i²x_j²+5 åx_i²x_jx_k+2×6åx_ix_jx_kx_l)

De hoogste graadsterm (lexicografisch) is åx_i²x_j² met coëfficiënt 2.
Nu kan je åx_i²x_j² schrijven in functie van e₂² nl:
e₂²=(åx_ix_j)²
= åx_i²x_j²+2åx_i²x_jx_k+6åx_ix_jx_kx_l

Dus is: m[3,1]=e₂×e₁²-2e₂²-(åx_i²x_jx_k)

Aangezien x_i²x_jx_k=(x_ix_jx_k)x_i herschrijven we
e₃×e₁=åx_ix_jx_kåx_l
= åx_i²x_jx_k + 4åx_ix_jx_kx_l

Bijgevolg is åx_i²x_jx_k=e₃×e₁-4e₄

zodat: m[3,1]=e₂×e₁²-2e₂² -e₃×e₁+4e₄

Hopelijk is het zo duidelijk.

Mvg,

Els

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 17 november 2004

Re: Symmetrische polynomen