De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Reeks van functies, uniforme convergentie

Dag iedereeeeen,

Ik zit met een probleempje. Ik moet bewijzen dat de volgende reeks uniform convergeert op elk compact interval binnen $\mathbf{R}$.

$\sum$(-1)nsin(1+(x/n))/$\sqrt{ }$(n) n=1,...,$\to\infty$

Ik heb de indruk dat al mijn kenmerken niet toepasbaar zijn of zo... Abel? Dirichlet? Dini?
Weet iemand iets anders?

Groetjes,

Koen (km)

Koen
Student universiteit BelgiŽ - maandag 1 november 2004

Antwoord

Hallo Koen!

Overgelopen naar de vub?

Die reeks: kan dat niet met Abel? Ik neem even de formulering over van wolfram:

un(x)=(-1)nsin(1+(x/n))/$\sqrt{ }$(n)
an=(-1)n/$\sqrt{ }$(n)
fn(x)=sin(1+(x/n))

$\sum$(an) is convergent wegens het criterium van Leibniz

Voor alle positieve x is fn(x) monotoon dalend vanaf een zekere N (namelijk kies N zodat x/N $<$ $\pi$/2 - 1.
Voor negatieve x is fn(x) wel monotoon stijgend, das jammer... Maar dan kan je even kijken naar f'=sin(1)-sin(1+(x/n)), die daalt dan weer wel en is strikt positief vanaf bepaalde N. Dus als je die f' invult, is u uniform convergent, maar ook voor f''=sin(1) is u uniform convergent, dus ook voor f=f''-f' zal u wel uniform convergent zijn zeker? (ben ik niet echt zeker van, en tziet er ook niet zo mooi uit)

fn(x) is begrensd: voor elke x ligt die tussen 0 en 1 vanaf bepaalde n, ofwel voor elke x ligt die tussen -1 en 1.

En das genoeg om te besluiten dat de reeks uniform convergeert op elk compact interval van $\mathbf{R}$.

Khoop dat ik niks over het hoofd heb gezien, want tis toch alweer een tijdje geleden...

Greetz!

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 2 november 2004
 Re: Reeks van functies, uniforme convergentie 
 Re: Reeks van functies, uniforme convergentie 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3