De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs m.b.v volledige inductie

Ik kom niet helemaal uit de inductiestap bij de volgende vraag: Bewijs met volledige inductie dat voor elke gehele n>0 de grootste gemeenschappelijke deler van de Fibonacci-getallen Bn en Bn+1 gelijk aan 1 is.

M. Smi
Student universiteit - zondag 28 april 2002

Antwoord

Voor n = 1 klopt het overduidelijk, want B1 = 1 en B2 = 1, en de GGD van het duo 1 en 1 is natuurlijk 1.

Stel nu dat je bewering waar is voor n = k. De GGD van Bk en Bk+1 is dus gelijk aan 1.

Stel d = GGD(Bk+1,Bk+2)

Dan is d deelbaar op beide getallen en dus ook op hun verschil!
Maar dat verschil is natuurlijk gelijk aan Bk, want op die manier is de rij van Fibonacci gevormd.
Maar dan is d dus deelbaar op Bk , en d is k deelbaar op Bk+1.
Dus is d een gemeenschappelijke deler van deze twee termen, en omdat hun grootste gemene deler 1 is, is d zelf gelijk aan 1.

MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 28 april 2002



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3