De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Logaritmes bepalen met een huishoudrekenmachientje

Ik heb van een kennis ooit geleerd hoe je de logaritme van een getal kunt benaderen met een simpel rekenmachientje met een -functie. Waarom het zo werkt kan ik echter niet beredeneren.

Toets het getal in waarvan je de logaritme wilt nemen.
Druk 11 keer op de -toets.
Trek van dit antwoord 1 af.
Vermenigvuldig het antwoord met 889.
Het resultaat is de logaritme van het oorspr. getal.

Weet iemand hoe dit rekenkundig werkt?

(((x))-1)*889 = Log(x)

Henk P
Iets anders - dinsdag 26 oktober 2004

Antwoord

Even proberen:
We nemen x=10
Elf keer de wortel nemen: 1,001124941
Hier 1 vanaftrekken: 0,001124941
Nu met 889 vermenigvuldigen: 1,0000729.
Nu geldt log(10)=10log(10)=1.
Nog eentje: we nemen x=2
We krijgen (1,000338508-1)*889=0,30093366
log(2)=0,3010299957.
Het gaat hier dus niet om iets dat exact klopt maar om een benaderingsmethode.

Eerst maar eens dat 11 keer worteltrekken:
(x)=x1/2
((x))=(x1/2)1/2=x1/4.
Hier weer de wortel van is (x1/4)1/2=x^(1/8).
Je kunt narekenen dat elf keer de wortel nemen, overeenkomt met verheffen tot de macht 1/2048.
We hebben links dus staan (x^1/2048-1)*889.
Verder willen we een benadering voor log(x) zoeken.
Dus b=log(x). We zoeken dus het getal b zo, dat 10b=x.
Laten we nu eens gaan kijken hoe 10h zich gedraagt als h dicht bij 0 ligt.
100.1=1,258925
100.01=1,023293
100.001=1,002305
100.0001=1,000230285
Het lijkt erop dat bij benadering geldt:
als h dicht bij nul dan is 10h=1+2,303h.
Wat hebben we hier nu aan?
Wel, we wilden x^1/2048 berekenen.
We schrijven nu:
x=10^(log(x) (een regel bij logaritmen)
dus
x^(1/2048)=(10^log(x))^(1/2048)=
10^(log(x)/2048).
Nu zijn logaritmen in het algemeen niet zo groot, en delen door 2048 levert dus exponenten die dicht bij nul liggen.
We schrijven dus x^1/2048=10^(log(x)/2048)1+2,303*log(x)/2048=
Dus 2,303*log(x)/2048=x^1/2048-1.
Dus log(x)=2048/2,303*(x^1/2048-1)=889*(x^1/2048-1).

Meer fundamenteel:
Omdat ex=1+x+1/2x2+1/6x3+... een machtreeksontwikkeling is van ex geldt als x dicht bij nul ligt dat we ex kunnen benaderen door ex1+x.

We gaan weer de volgende berekening doen:
x^(1/2048)-1=
(e^(ln(x))^(1/2048)-1=
e^(ln(x)/2048)-11+ln(x)/2048-1=ln(x)/2048.
Dus ln(x)(x^(1/2048)-1)*2048
Nu weten we dat log(x)=ln(x)/ln(10)
Dus log(x)(x^(1/2048)-1)*2048/ln(10) en
2048/ln(10)=889,435.

Waarom nu elf keer die wortel trekken en niet bijvoorbeeld 10 of 12 keer?
Dat kan ook maar dan had je i.p.v. 889 moeten nemen
1024/ln(10)=447,7 of 4096/ln(10)=1778,9.
Waarschijnlijk is dat 11 keer worteltrekken een compromis tussen enerzijds een klein genoege exponent en anderzijds de nauwkeurigheid van de rekenmachine.

Ik hoop dat je hier wat aan hebt.



Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 26 oktober 2004
  Re: Logaritmes bepalen met een huishoudrekenmachientje  



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3