De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Derdemachtswortel vereenvoudigen

Beste medebeantwoorder,
Zit alweer uren te puzzelen en kom er maar niet uit. Wordt gek van de getallen
Het probleem is als volgt:
Ik heb:
(871/1458 + 5/54(33))1/3 + 34/(81(871/1458 + 5/54(33))1/3) - 4/9

Nu is dit ook volgens Maple gelijk aan 1. (wat een manier om 1 te noteren, maar goed).

Ik heb inmiddels het probleem kunnen reduceren tot het aantonen dat:
3(3484+540(33)) + 3(3484-540(33)) gelijk moet zijn aan 26.

Weet iemand hoe dit handmatig kan?

Alvast bedankt.

M.v.g.
Peter

peter
Docent - donderdag 21 oktober 2004

Antwoord

Beste Peter,

De kern van het reduceren hier ligt in het bepalen van (871/1458 + 5/54(33))1/3, of met een beetje omrekenen (3484 + 540(33))1/3/18.

Nu kunnen we kijken of er x en y in zijn zodat (x+y(33))3 = 3484 + 540(33). Dat zou de zaak sterk versimpelen.

We hebben (x+y(33))3 = x3 + 3(33)x2y + 99xy2 + 33(33)y3.

Hieruit halen we x3+99xy2 = 3484 en 3x2y + 33y3 = 540. Door 540 maal de eerste vergelijking min 3484 maal de tweede vergelijking, daarna wat gemeenschappelijke delers wegdelen, en delen door y3, krijgen we

45t3 - 871t2 + 4455t - 9851 = 0

waarin t = x/y.

Met de Rational Root Theorem (Ask. Dr. Math) kunnen we nu vinden dat de noemer van een rationale oplossing voor t een deler moet zijn van 45, en de teller een deler van 9851 = 111367. Het blijkt dan dat t=13 voldoet.

Substitueren van x=13y in x3+99xy2 = 3484 geeft y=1. En dus x=13.

Kortom, we hebben gevonden dat (871/1458 + 5/54(33))1/3 = (13 + (33))/18.

Verder reduceren moet geen probleem zijn.

*******

Voor het door jou gereduceerde 3(3484+540(33)) + 3(3484-540(33)) heeft hk een soortgelijke methode gevonden.

Door z3=((a+b)1/3+(a-b)1/3)3 uit te rekenen, vind je dat dit getal een oplossing moet zijn van z3-408z-6968=0.
Doordat 6968=81367 kun je weer vrij snel tot de enige rationale oplossing van deze vergelijking komen.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 21 oktober 2004



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb