De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Afgeleide van exponentiële functie

Help ik zit vast met het bewijs van de afgeleide van een exponentiële functie!

D f(x)=a tot de xste
D f(x)= lim h®0 (f(x+h)-f(x))/h
D f(x)= lim h®0 (a tot de (x+h) - a tot de (x))/h

... ???


D f(x) = ln a ´a tot de x


P.S. ln a = log a / log e

senne
3de graad ASO - donderdag 16 september 2004

Antwoord

Stel f(x) = ax.

Dan is
f'(x) = limh®0(ax+h-ax)/h
= limh®0ax·(ah-1)/h
= ax·limh®0(ah-1)/h

Dit laatste stuk (limh®0(ah-1)/h) is een constante (dus onafhankelijk van x). We moeten nu alleen nog laten zien dat het gelijk is aan ln a

Er is er een waarde voor a te kiezen zodat limh®0(ah-1)/h = 1. Deze waarde van a noemen we e (het getal van Euler). Probeer maar eens voor kleine waarden van h.

We weten dus nu dat voor f(x) = ex geldt dat f'(x) = ex.

Dit gaan we gebruiken voor willekeurige grondtallen.

Stel f(x)=ax.
Je kunt a schrijven als eelog a ofwel eln a.
f(x) is dus te schrijven als (eln a)x ofwel ex·ln a.
Gebruik nu de kettingregel om te laten zien dat
f'(x) = ln a·ax

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 5 oktober 2004



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3