De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Rationale getallen

Hallo team wisfaq,

Zij x een natuurlijk getal en x=(1/2){n+sqrt((n^2)+4)},
de kettingbreukontwikkeling van x is x=[n,n,n,....].
Ik wil graag de volgende twee feiten bewijzen:

1.de convergenten van x worden gegeven door
{u_(k+1)/u_k}(k=1 tot oneindig), met {u_k} de rij die gefenieerd is door
u_o=o, u_1=1, u_k=au_(k-1)+u_(k-2) voor k=2.
Als ik de convergenten van x uitschrijf zie ik inderdaad dat die voldoen aan bovenstaande uitdrukking , maar ik begrijp niet hoe ik dit formeel en hard bewijzen moet. Waarschijnlijk met inductie, maar ik begrijp niet hoe ik dat hier gebruiken moet.

2. Voor elke (epsilon)e0 zijn er maar eindig veel rationale getallen p/q zodat
|x-(p/q)| 1/{sqrt(n^2+4)+e*q^2}


Vriendelijke groeten en dank,

Viky

viky
Student hbo - vrijdag 30 juli 2004

Antwoord

Hallo,

(de eerste x in de vraag moet een n zijn, en de a in de definitie van uk moet ook een n zijn)

Volgens mathworld bestaat er een snelle manier om de n-de convergent te berekenen, namelijk vergelijking 3 op die pagina. Natuurlijk zijn alle ai in dit geval gelijk aan n.

Bereken nu eens de m-de convergent, noem die Cm.
Ontwikkel daarvoor de determinant in de teller, volgens de eerste rij. Er komen twee termen: de eerste is n maal de noemer; de tweede is een soortgelijke determinant, maar één rang kleiner dan die in de noemer. Die tweede term gedeeld door de noemer is dus juist het omgekeerde van Cm-1.

Dus: Cm = n + 1/Cm-1

Je kan hier dus inderdaad inductie toepassen:
stel dat Cm-1=um/um-1

dan Cm = n + 1/Cm-1
= n + 1/(um/um-1)
= n + um-1/um
= (num + um-1)/(um)
= um+1/um

(je moet hier wel een beetje opletten wat je de n-de convergent noemt: is n de eerste of de nulde en zo, maar dit bewijs kan je hoedanook gebruiken)

Voor de tweede vraag heb ik eerlijk gezegd absoluut geen idee. Uit het ongerijmde werken lijkt de meest logische manier om aan te tonen dat er slechts eindig veel p/q zijn, maar hoe je dat concreet moet aanpakken? Of ken je misschien een andere eigenschap over kettingbreuken die ook iets zegt als 'er zijn slechts eindig veel rationale getallen...'? If so, is het waarschijnlijk dat je dat moet gebruiken.

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 1 augustus 2004
 Re: Rationale getallen 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3