De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Kortste som van afstanden

Dag Wisfaq,
In een rechthoekig (x,y)-coördinatenstelsel liggen de punten A(0;0), B(0;1) en C(7;0). Gevraagd is de ligging van het punt M(p;q) waarvoor geldt dat de som van de afstanden MA+MB+MC minimaal is. Een numerieke benadering levert M(0,28402840...;0,42689740...); MA+MB+MC=7,88190051...
Is dit probleem exact oplosbaar?
Dank voor uw aandacht,
Jaap

Jaap
Docent - zondag 20 juni 2004

Antwoord

Beste Jaap,

Meetkundig gezien kun je dit oplossen m.b.v het punt van Torricelli.
q25610img1.gif
Je tekent op elke zijde van de driehoek een gelijkzijdige driehoek en verbind het toppunt van elke gelijkzijdige driehoek met het niet-gemeenschappelijke punt van de aanliggende driehoek. Dus D met A, F met C en E met B. Dit levert je één snijpunt op (T). Dat punt wordt het punt van Torricelli genoemd en heeft als eigenschap dat |BT|+|TA|+|CT| minimaal is. Je vroeg of je dit punt exact kon bepalen.

Ik zou dat oplossen door een vergelijking van de lijn door C en F, en door B en E op te stellen, deze twee lijnen snijden elkaar in het punt van Torricelli.
Coördinaat C kennen we (7,0), maar coördinaat F nog niet.
Trek vanuit F een loodlijn op de x-as en noem het snijpunt G. Dan is hoek GAF = 180°-60°-90° Ž hoek GAF = 30°.
Aangezien we de loodlijn vanuit F hebben neergelaten op de x-as is hoek AGF = 90°. Aangezien driehoek ABF gelijkzijdig is, is |FA|=1. Dus sin(GAF)= sin(30°) = |FG|:|FA| Ž |FG|=sin(30°) Ž |FG|=1/2. Om |AG| te bepalen gebruiken we de cos(30°) = |AG|:|FA| Ž |AG|=1/2Ö3. Dus F heeft als coördinaat (-1/2Ö3 , 1/2). C heeft als coördinaat (7,0) dus de vergelijking van de lijn wordt y = ax + b. De richtingscoėfficiėnt is -1/14+Ö3 Ž y = (-1/14+Ö3)x + b. Het punt (7,0) invullen levert y = (-1/14+Ö3)x + 7/14+Ö3.

Je kunt zelf ook de vergelijking van de lijn door B en E opstellen. Om het coördinaat van E te bepalen laat je vanuit E een loodlijn op AC. Aangezien driehoek AEC gelijkzijdig is wordt AC middendoor gedeeld, dus de x-coördinaat is 31/2. En |AE| is 7. Dus kun je de lengte van de loodlijn berekenen m.b.v. Pythagoras (of m.b.v. gonio), dat levert 31/2Ö3. Dus E heeft als coördinaat (31/2 , -31/2Ö3). De richtingscoėfficiėnt van de lijn is -2/7-Ö3 en het punt (0,1) invullen levert y = (-2/7-Ö3)x + 1.

Het snijpunt van de twee lijnen is het punt van Torricelli, dus (-1/14+Ö3)x + 7/14+Ö3 = (-2/7-Ö3)x + 1 oplossen. Dit oplossen levert x = 7/2·(7+Ö3/21+50Ö3). Indien het oplossen van deze vergelijking problemen levert dan hoor ik het wel.

De y-coördinaat vind je door het gevonden x-coördinaat in een van de lijnen in te vullen, dus y is 7/2·(1+7Ö3/21+50Ö3).

De som van de afstanden (|BT|+|TA|+|CT|) is q25610img1.gif dat kun je via Pythagoras berekenen.

Groetjes,

Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 20 juni 2004



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb