De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Convergentie van een reeks

Hallo team wisfaq,

Ik wil graag de volgende theorie bewijzen:
9eerst wat gegevens)
Laat w1, w2 twee complexe getallen zijn niet gelijk aan 0, em laat t=w2/w1 met Imt0. Laat w=mw1+nw2 met m,n=0,(+/-)1,(+/-)2,....De punten vormen een tralie in het complexe vlak. Beschouw de volgende reeks
SOM{|w|^-q}=SOM SOM {(|mw1+nw2|)^-q}, de eerst som gaat van m=-oneindig tot oneindig, de tweede som van n=-oneindig tot oneindig.

Theorie. De reeks SOM[|w|^-q}], som gaat over alle w, behalve w=0, convergeert voor q2.
Bewijs.
Definieer de partiele som
S_k=SOM{|w|^-q}, de som gaat over |m|=k, |n|=k, k=1,2,3... en laat T_k=S_k-S_(k-1). De reeks SOM[|w|^-q}] convergeert d.e.s.d.a. de reeks SOM{T_k}, van k=1 tot oneindig cnvergeert, want alle termen zijn positief.

Vraag1. Waarom geldt bovenstaand?Dus De reeks SOM[|w|^-q}] convergeert d.e.s.d.a. de reeks SOM{T_k}, van k=1 tot oneindig cnvergeert, want alle termen zijn positief.

Het aantal termen in T_k is 8k want
(2k+1)^2-1-{(2k-2+1)^2-1}=8k.

Vraag2. Waar komt(2k+1)^2-1-{(2k-2+1)^2-1} vandaan?

En elke term is van de vorm
|kw1+nw2|^-q, |n|=k, of van de vorm |mw1+kw2|^-q, |m|k

Vraag3. Waarom is een term van zo'n vorm?

De correspnderende punten liggen op de grens van de parallellogram met hoekpunten in kw1+kw2, -kw1+kw2, -kw1-kw2, kw1-kw2. Dus er bestaan twee getallen a0 en b0 zodat als w correspondeert met een term in T_k dan hebben we
a*k|w|b*k,
en dus
8*(b^-q)*k^(1-q) T_k 8*(a^-q)*k^(1-q),

Vraag4. Waarom zijn er zulke getallen a en b? En waarom geldt a*k|w|b*k,en 8*(b^-q)*k^(1-q) T_k 8*(a^-q)*k^(1-q)?

En nu volgt dat SOM{T_k}, van k=1 tot oneindig convergeert d.e.s.d.a. SOM{k^(1-q)}, van k=1 tot oneindig convergeert,
dus d.e.s.d.a. q2.

Vraag6. Waarom volgt nu bovenstaande?

Veel groeten en dank,

Viky

viky
Student universiteit - donderdag 13 mei 2004

Antwoord

Dag Viky

Vraag 1:
Tk=(S1-S0) + (S2-S1) + (S3-S2) + (S4-S3) + ...

Als de som in het linkerlid tot pakweg n gaat, zal het rechterlid juist Sn zijn: je kan immers alle andere S'en schrappen.

Dus Tk (som 1 tot n) = Sn
Je weet waarschijnlijk dat je moet oppassen met convergentie als er negatieve termen in zitten, wel hier is dat niet het geval. Dus kan je uit de gelijkheid besluiten dat de som van Tk convergeert desda Sk convergeert.

Vraag 2: stel even dat je de tralie 1,i hebt, dus een vierkant. Dan worden de termen uit S2 met x voorgesteld, die uit T3 met o. De nul in het midden, aangeduid met 0, telt niet mee in de som.
o o o o o o o
o x x x x x o
o x x x x x o
o x x 0 x x o
o x x x x x o
o x x x x x o
o o o o o o o

Hoeveel o's heb je nu: je kan dit op verschillende manieren berekenen, bijvoorbeeld je hebt 4 zijden van telkens 7=2k+1 punten, dus 8k+4 in totaal, maar dan tel je de vier hoek-o's dubbel, dus kom je op 8k. De afleiding die jij geeft maakt gebruik van Tk=Sk-Sk-1 en het aantal traliepunten in Sk is een vierkant van 2k+1 op 2k+1, min het middenste punt (de 0).

Vraag 3: uit bovenstaand ox0 schema zie je dat elk punt van Tk ofwel m=k of -k ofwel n=k of -k heeft.

Vraag 4b: als ak |w| bk
Doe dan alles tot de macht -q (let op: de ongelijkheden worden daardoor omgekeerd!!)
Je weet dan dat elke |w|-q (waarbij w een traliepunt is op de rand van dat parallellogram) gelegen is tussen (bk)-q en (ak)-q.

Maar je hebt 8k zulke w's in Tk, dus zal je Tk gelegen zijn tussen 8k(bk)-q en 8k(ak)-q

Vraag 4a: waarom ak |w| bk ? Wel, |w| is niks anders dan de afstand van de nul naar het traliepunt w, dat dan ook nog eens gelegen is op de rand van dat parallellogram. Dan zou je moeten zien dat je altijd zulke a en b kan vinden. Stel bijvoorbeeld eens w1=r1eiq1 en w2=r2eiq2. De grootste afstand zal altijd van n van de vier hoekpunten van het parallellogram komen. De kleinste afstand is misschien wat lastiger.

Vraag 6: je hebt nu alle Tk afgeschat, tussen c1k1-q en c2k1-q. Dus de som van alle Tk zal convergeren desda de som van k1-q convergeert (k is 1 tot oneindig)

Wanneer heb je daar convergentie? Juist als q2. Want q=2 levert de harmonische reeks, die divergeert. q2 levert de hyperharmonische reeks. De divergentie/convergentie hiervan kan je nalezen op de laatste pagina van deze link

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 13 mei 2004
 Re: Convergentie van een reeks 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3