De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Kwadraatrest modulo p

Hallo,

Ik heb laatst de volgende stelling ergens gelezen:

Het getal 19 is een kwadraatrest (mod 31), immers 92=81=19+2*31. Het is ook een kwardaatrest (mod 59) want 142=196=19+3*59. Maar 19 is geen kwadraatrest 23.

Het probleem: bepaal alle priemgetallen p waarvoor geldt dat 19 een kwadraatrest mod p is? Hoe kun je dit ook bewijzen.

koen
Docent - zaterdag 7 februari 2004

Antwoord

Hallo,

Dit soort bewijzen gebruikt de 'quadratic reciprocity law'.
Notatie: (q/p)=1 als q een kwadraatrest is modulo p, anders geldt (q/p)=-1. (q en p zijn verschillende oneven priemen)

De vraag is dus: voor welke p is (19/p) gelijk aan 1?

De stelling zegt nu:
(q/p)=(-1)q-1/2p-1/2(p/q)

Anders gezegd: (p/q)=(q/p) als p of q (1 mod 4) is.
q = 19 = -1 (mod 4).

Dus, als een p gegeven wordt: kijk of (p/19) 1 of -1 is; en kijk of p = 1 of -1 mod 4. Eens je dit weet, weet je ook of (19/p) 1 dan wel -1 is. Om een lijst op te stellen zal je de priemen moeten nakijken op hun waarde modulo 4, en nakijken op hun kwadraatzijn modulo 19, dus je zal een lijst moeten maken van priemen modulo 4*19=76, dus toch knap wat werk...

Vb p=5: (5/19)=1 want 581
51 mod 4
Dus (19/5) = 1*1 = 1 en inderdaad: 194 mod 5, dus 19 is een kwadraatrest mod 5.

Vb p=31: (31/19)=-1 (want de kwadraten modulo 19 zijn 1,4,9,16,6,17,11,7,5,5,7,11,17,6,16,9,4,1,0 en dus niet 12)
31-1 mod 4
Dus (19/31)=(-1)(-1)=1

Groeten,

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 8 februari 2004



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb