De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Rij van n opeenvolgende niet-kwadraatvrije getallen construeren

Hallo,

Hoe bewijs ik dat er een willekeurige lange rij opeenvolgende gehele getallen bestaat die elk deelbaar zijn door een kwadraat groter dan 1?

piet
Docent - maandag 12 januari 2004

Antwoord

Hoi,

Voor de duidelijkheid: het is niet zo dat er een kwadraat moet bestaan dat elk van die opeenvolgende getallen deelt, wel dat er voor elk getal een kwadraat kan gevonden worden dat het deelt.

We willen dus n opeenvolgende getallen bepalen zodat elk ervan deelbaar is door een volkomen kwadraat.

Kies n willekeurige, verschillende priemgetallen pi zodat p2in voor i=1..n.
We zoeken een getal m zodat m=i (mod p2i) voor i=1..n.
Alle n opeenvolgende getallen m-i zijn dan deelbaar door een kwadraat, namelijk p2i.

Noem p=prod(pi,i=1..n) en mi=(p/pi)2 voor i=1..n.
Elke mi is dus het product van de kwadraten van alle gekozen priemgetallen, behalve van pi.

We proberen dan coŽfficiŽnten ai te bepalen zodat m=sum(ai.mi,i=1..n).
We hebben dat m (mod p2i)=ai.mi omdat p2i|mj voor jĻi.
We willen dat m=i (mod p2i) en we weten dat ggd(mi,p2i)=1, zodat er een inverse bestaat voor mi (mod p2i).
We vinden dus dat ai=i.m-1i (mod p2i) voor i=1..n voldoet om een gepaste m te construeren. Met die m vinden we dus n opeenvolgende getallen m-n, m-(n-1), ..., m-2, m-1 die stuk voor stuk een kwadraat bevatten.

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 14 januari 2004



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb