WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Wortel 2 is irrationaal

Dit is een reactie op vraag 264

Stel $\sqrt{2}$=p/q met de toevoeging (p,q$\in$N). Die laatste toevoeging begrijp ik niet, want als u stelt dat je $\sqrt{2}$ als een rationaal getal mag schrijven, dan moet je, volgens mij, gebruik maken van de verzameling waarin zowel positieve als negatieve getallen zitten. Volgens mij mag p ook negatief zijn.

Ondanks u zeer goede uitleg kost het mij toch veel moeite u helemaal te volgen.

Hoogachtend
Jan Sc
Iets anders - maandag 5 januari 2004

Antwoord

't Is dan maar goed dat ik het niet zelf bedacht heb, zoals onderaan staat komt het van de website van Pythagoras.

Ik zou voor p toch geen negatieve getallen willen gebruiken, want wortels zijn altijd positief. Tenzij je q dan ook negatief neemt, maar erg 'nuttig' lijkt me dat hier niet.

Op Overzicht van verschillende soorten bewijzen staan verschillende soorten bewijzen. Dit bewijs valt onder de categorie 'bewijs uit het ongerijmde' oftewel een bewijs door contrapositie.

Kortgezegd: je wilt aantonen dat iets niet waar is, veronderstel dat het wel waar is en leidt vervolgens een tegenspraak af.

Dat zal het probleem niet zijn, denk ik. Het probleem zit hem waarschijnlijk in dingen als:

2·q² = p²

De conclusie bestaat uit twee dingen:
Omdat elk getal op een unieke manier te ontbinden is in priemfactoren moet p² even zijn, want 'ergens' staat er in de ontbinding van p een 2. 2 is immmers een priemgetal!
Als p² even is dan is p dat ook.
Dit gebruik je dan nog een keer in het laatste stuk.

De tegenspraak is dan dat je begonnen bent met een niet vereenvoudigbare breuk, die later toch te vereenvoudigen blijkt te zijn, dus tegenspraak!

Hopelijk helpt dat...

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 5 januari 2004