De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Modulo rekenen en bewijzen

Ik heb daarnet ook al eens gemaild. Maar nu heb ik nog een bewijs gezien namelijk het volgende:

Het getal p is een priemgetal. h en k zijn niet-negatieve gehele getallen waarvoor geldt: h+k=p-1.
Bewijs nu dat: h!*k!(-1)^(k+1)mod p

Hoe moet ik dit dan gaan bewijzen??

Groetjes

Van de
Docent - zondag 4 januari 2004

Antwoord

NB: Johan (aka Andros) heeft mij gemeld dat hij ongeveer dezelfde vraag onlangs ook heeft opgelost, zie dus ook:
showrecord3.asp?id=17387

Hieronder volgt mijn oorspronkelijke antwoord.

Hallo,

Als je modp werkt kan je h! anders schrijven:
12...h $\equiv$ -(p-1)(-(p-2))(-(p-3))...(-(p-h))
$\equiv$ (-1)h(p-h)(p-h+1)...(p-1)

Maar p-h=k+1
Dus k!h! = 12...kh!
$\equiv$ 12...k(k+1)(k+2)...(p-1)(-1)h
= (p-1)!(-1)h

p is oneven (voor p=2 is de bewering triviaal correct), dus h en k zijn ofwel beide even, ofwel beide oneven, dus (-1)h=(-1)k.

Rest nog te bewijzen dat (p-1)!$\equiv$-1 modp...

Dat is wel mogelijk, maar met nogal een lastig argument vrees ik...

Als je naar de structuur van $\mathbf{Z}$/p$\mathbf{Z}$ kijkt weet je dat elk element a een uniek invers b heeft, dus zodanig dat
ab$\equiv$1 mod p. Bovendien verschilt die a telkens van de b, behalve wanneer a=1 of p-1. (wegens eigenschappen van een veld: X2=1 heeft hoogstens twee oplossingen)

Dus in dat product (p-1)! krijg je:
1(ab)(cd)(ef)...(p-1)
waarbij ab, cd, ef,... telkens 1 zijn modp.

Vb p=7:
6!=1(24)(35)6

Vb p=11:
10!=1(26)(34)(59)(78)10

Dus dit geeft inderdaad (p-1) mod p, dus -1 mod p.

Hiermee is de stelling bewezen. Misschien was er wel een eenvoudiger bewijs voor die (p-1)!, maar dat is mij dan toch ontgaan...

Groeten,

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 januari 2004



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb