De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs formule van Euler

Hoe kun je de volgende formule van Euler bewijzen:
eF i = cosF + i sinF?

Peter
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 23 oktober 2003

Antwoord

Door te vertrekken van de machtreeks voor exp(z). Dat is trouwens de *definitie* van exp(z) in de hogere wiskunde.

exp(z) = 1 + z + z2/2! + z3/3! + z4/4! + ...

zodat

exp(iz) = 1 + iz - z2/2! - iz3/3! + z4/4! + ...
exp(-iz) = 1 - iz - z2/2! + iz3/3! + z4/4! + ...

Sinus en cosinus worden nu hieruit *gedefinieerd* als

sin(z) = (1/(2i))[exp(iz)-exp(-iz)] [*]
cos(z) = (1/2)[exp(iz)+exp(-iz)] [**]

Hieruit kan je een veelheid van eigenschappen bewijzen die je al kent, zoals sin2(z)+cos2(z) of de verdubbelingsformules.

Vermenigvuldig [*] met i en tel er [**] bij op om het gevraagde te bekomen. Eigenlijk is dat dus een gevolg van de definities van sin(z) en cos(z) en niet echt een te bewijzen stelling...

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 23 oktober 2003



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3