De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Vergelijking van cirkels door snijpunten van cirkels

Ik moet vergelijkingen berekenen van de cirkels die door de snijpunten van x2+y2+2x+6y-7=0 en x2+y2-1=0 gaan en bovendien raken aan y=x. Hoe doe ik dit?

charlo
Student hbo - vrijdag 15 augustus 2003

Antwoord

De algemene vergelijking van een cirkel: x2+y2+2ax+2by+c=0

Je zoekt eerst de snijpunten van die twee vergelijkingen door het stelsel

x2+y2+2x+6y-7=0
x2+y2-1=0

op te lossen.

Dit stelsel heeft 2 oplossingen. nl (0,1) en (3/5,4/5)

Deze punten moeten voldoen aan de vergelijking van de cirkel. Dus:

1+2b+c=0
en
(3/5)2 + (4/5)2 + a 6/5 + b 8/5 + c=0

of dus:

0a +2b+c=-1
6/5a+8/5b+c = -1

Dit stelsel los je op met de methode van gauss jordan. Je krijgt eventueel als oplossing (het kan ook een andere zijn, afhankelijk van de keuze van de parameter):

a = t
b = 3 t
c = -1 - 6 t

Dit geeft een stelsel van 3 onbekenden en twee vergelijkingen. Dus 1 vrijheidsgraad (parameter t). Om die weg te werken is er een derde voorwaarde. Dat is dat de cirkel moet raken aan y=x.

Wat we tot nu toe hebben is dat alle cirkels van de vorm
x2+y2+2ax+2by+c=0

met a = t, b = 3 t en c = -1 - 6 t

in aanmerking komen. Dus de cirkel is van de vorm

x2+y2+2tx+6ty-1-6t = 0

Het feit dat y=x hieraan moet raken wil zeggen dat als je de snijpunten zoekt, je er maar n mag vinden. Terwijl een gewone rechte en een cirkel meestal twee of geen gemeenschappelijke punten heeft.

Dus het stelsel
x2+y2+2tx+6ty-1-6t = 0
y=x

Mag slechts n oplossing hebben.

Dus vervang y door x:

2x2+8tx-1-6t = 0

Dit is een verkantsvergelijking. Bereken de discriminant en stel hem nul, want dat is de voorwaarde voor 1 oplossing.

discr=(8t)2-42(-1-6t) =0

Dis is opnieuw een tweedegraadsvergelijking in t die twee oplossingen heeft:

{t = -1/4}, {t = -1/2}

Als we deze waarden in de vergelijking van de cirkel stoppen krijgen we dus twee cirkels, nl:

X2+Y2-X-3Y+2 = 0

en

X2+Y2-1/2X-3/2Y+1/2 = 0

Een figuurtje:

q13466img1.gif

Veel plezier er nog mee.

Koen Mahieu

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 15 augustus 2003



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3