De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Testen deelgroep

er bestaat een test om na te gaan of voor een gegeven groep (V,o) de structuur (W,o) waarbij WV ook een groep vormt:

1. algemene test: (W eindig of oneindig)

(W,o) is groep ("a,b W: a o b W) (" a W: a^(-1) W)

2. test bij eindige W:

(W,o) is groep (("a,b W: a o b W)

Gevraagd was 2.
te bewijzen en aan te tonen waar gebruik werd gemaakt van het eindige karakter van W bij de test voor eindige W.

Bewijs:


(W,o) is groep associativiteit bestaat, (W,o) heeft een invers en neutraal element

Stel Eo het neutraal element
"a W bestaat het invers element
a o a^(-1) = Eo en Eo W
a o Eo = a en a W
" a,b W: a o b W

ik weet nie hoe ik de associativiteit moet aantonen en ook de omgekeerde richting van het bewijs wil niet lukken... (en waar wordt het belangrijk dat W eindig is?)

Kelly
Student universiteit Belgi - vrijdag 15 augustus 2003

Antwoord

Hoi Kelly,

Vrij vertaalt gaat het erom wanneer W een ondergroep is van V.

W is een groep. Uit de definitie volgt direct dat er dan een neutraal element is , dat de bewerking associatief is, en dat ieder element een inverse heeft. Dus deze kant op zijn we eigenlijk al klaar, alles volgt uit de definitie.
De bewerking is associatief op V, en dus ook op W!
Verder merken we op dat a o a(-1) W, dus ook e (neutraal elt) W.
a(-1) = e o a(-1) W voor alle a W, dus dan ook a o b = a o (b (-1))(-1) W voor alle a,b W. Oftewel, elk element heeft een inverse in W.

De (on)eindigheid vind ik ook lastig, want ik heb dit verschil niet zo expliciet gehad. Ik denk dat je het moet zoeken in de hoek van de voortbrengers.

Succes!

Erica
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 18 augustus 2003



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3