|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Matrix lineare afbeelding
Beste,
Ik heb moeite met het oplossen van vraag 3 van p. 84 van het boek Wiskundige basisvaardigheden. De vraag luidt: "Bepaal alle mogelijke 2x2-matrices met niet-nulle determinant die idempotent zijn. Doe hetzelfde voor 3x3-matrices. Kan je dit veralgemenen naar vierkante matrices met orde n?"
Ik heb het hoofdstuk Lineaire algebra gelezen en weet wat een idempotente matrix is. Toch lukt het me niet om die vraag op te lossen.
Dit is hoe ik het heb aangepakt: Ik ben begonnen met een algemene 2x2 matrix "A" op te stellen, die er zo uitziet: a11= a, a12= b, a21= c, a22= d. Daarna heb ik die matrix met zichzelf vermenigvuldigt en heb dan de elementen van A2 gelijkgesteld aan de elementen van A en kreeg dus deze uitdrukkingen:
* a2+bc=a
* b(a+d)=b
* c(a+d)=c
* d2+bc=d
Hieruit constateerde ik dat a+d=1, maar voor de rest heb ik niets kunnen vinden. Achter een idempotente 3x3- en nxn-matrix heb ik nog niet gezocht.
Bij voorbaat dank.
Antwoord
Je conclusie dat $a+d=1$ is voorbarig, er zou ook kunnen gelden dat $b=c=0$.
Je moet je twee dingen realiseren als $A^2=A$ en $\det A\neq0$: het laatste impliceert dat elk stelsel $Ax=b$ een oplossing heeft, en uit het eerste volgt dan $Ab=A^2x=Ax=b$. Welke matrix $A$ heeft de eigenschap dat $Ab=b$ voor alle $b$?
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
