De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Differentiren

Opgave: Gegeven zijn 2 vaste cirkels O en O' (bijv. niet snijdend). Een variabele rechte s rakend aan de cirkel O in A, snijdt de cirkel O' in B en C. Aan welke kromme (= meetkundige plaats) raken de cirkels O'BC?

Mijn bevindingen:
(1) Vooreerst is het grafisch direct duidelijk dat niet elke raaklijn aan de cirkel O, de cirkel O' zal snijden. Op de cirkel O zijn er slechts twee bogen die een raaklijn oplevert, die effectief cirkel O' effectief snijdt.

(2) Kies je nu de cirkel O' als inversiecirkel van de inversie (O', r'²) dan stel je vast dat alle cirkels O'BC door het centrum van inversie gaan en dus door die inversie omgezet worden in rechten. Die rechten komen nu precies overeen met gunstige raaklijnen aan de cirkel O.

VRAAG: Hoe kan ik dan binnen de vlakke meetkunde, de omhullende vinden van al die rechten (= inverse beelden!)?
Indien ik die kan vinden, zou ik dan met dezelfde inversie, terugkeren, naar de oorspronkelijke kromme (vermoedelijk een cirkel), die raakt aan al die cirkels O'BC.

Opmerking: Ik hou er natuurlijk rekening mee, dat ik fout zit in mijn bevindingen; ik hoop in beide gevallen een tip te krijgen, om het verder persoonlijk af te werken. Bedankt bij voorbaat, ook al besef ik heel goed dat niet elke vraag in aanmerking komt.

Antwoord

Beste Yves,

Zoals ik het zie, heb je eigenlijk het belangrijkste al gezien:

Inversie (O', r'²) beeldt cirkel O'BC af op raaklijn s aan cirkel O, vice versa.

Nu raakt s dus aan cirkel O. Laat cirkel O₁ het beeld zijn van cirkel O onder genoemde inversie. Aangezien raaklijn s aan O wordt afgebeeld op cirkel O'BC, zal O'BC raken aan het beeld O₁ van cirkel O.

De cirkels O'BC raken dus alle aan O₁. Overigens, je merkt al terecht op dat niet noodzakelijkerwijs alle raaklijnen s cirkel O ook feitelijk snijden, zodat in het algemeen niet de gehele cirkel O₁ nodig zal zijn om de cirkels O'BC te "omhullen". Gelukkig is de vraag subtiel gesteld.

Met vriendelijke groet,

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Differentiren
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	19-5-2024