WisFaq!

Bewijs regel de l'Hopital op oneindig

Bewijs volgende regel:
lim f(x)/g(x) voor x®+¥=lim f'(x)/g'(x) voor x®+¥

Deze tip krijgen we er ook nog bij: neem aan dat a0 en beschouw de functies F,G: [0,1/a]®:t®f(1/t) en f is differentieerbare functie. En de stellingen van Rolle, Lagrange en Cauchy zullen er ook wel iets mee te maken hebben

Roel De Nijs
15-4-2003

Antwoord

Zij f(x), g(x) polynomen.
f(x)=åf_k x^k
g(x)=åg_l x^l

1. lim f/g = aÎ\{0} impliceert k=l
delen door x^l maakt alle coefficienten gelijk 0 en resteert: f_k/g_k
deze zelfde limiet word verkregen bij de afgeleides QED

2. lim f/g = 0 impliceert lk
delen door x^k maakt alle coefficienten in de teller gelijk 0 en noemer gelijk: g_k.
deze zelfde limiet word verkregen bij de afgeleides QED

voor niet-polynomen volgt de regel van l'hospital mbv de stelling van taylor die elke differentieerbare functie omzet tot het verwante taylorpolynoom waarmee de bewijslast aldaar komt te liggen.

formeel mag l'hopital enkel gebruikt worden in differentieerbare punten en oneindig is geen punt. Door de transitie naar F(x)=f(1/x) wordt dit probleem omzeild.

kijk ook eens bij de volgende link

Zie Cauchy linked to l'Hopital [http://erdos.math.swt.edu/teach/1998/spring/2471/n2471f.pdf]

MvdH
15-4-2003