WisFaq!

Grote straat yahtzee

Stel dat je na 1 worp met 5 stenen hebt gegooid: 1-2-3-5-6. Kan je dan beter met alleen de 1 of de 6 proberen een 4 te gooien (kans vlgs mij twee keer 1/6 dus 1/3) of kan je beter met twee dobbelstenen proberen in twee worpen 1-4 of 4-1 of 4-6 of 6-4 te gooien? Die tweede optie is gevoelsmatig een optie met meer kans maar ik kan dat niet bewijzen.

(Ik denk: kans op 1 van die 4 combinaties is 4/36 dus 1/9 maar 2 worpen is 2/9, maar als je in de eerste worp met 1 van de twee dobbelstenen een 4 gooit (kans 1/3) dan zou je de tweede worp maar met 1 verder gaan voor een 1 of 6, ook kans 1/3. Samen met die 2/9 is dat dan 3/9 dus ook 1/3?)

Wietske
19-1-2025

Antwoord

Hallo Wietske,

Je denkwijze gaat wel in de goede richting, maar de berekeningen zitten iets anders in elkaar. Wanneer je met een dobbelsteen een 4 wilt gooien (kans is ¹/₆), dan heb je bij twee pogingen niet een kans van 2·¹/₆. Immers, als je zeven keer gooit, zou de kans op 4 met deze rekenwijze uitkomen op ⁷/₆. Dat is meer dan 100%, dat kan natuurlijk niet.

Laten we de berekening iets zorgvuldiger opzetten:

Stel, je gooit de 1 opnieuw, in de hoop dat dit een 4 wordt. De kans dat dit in één keer lukt, is ¹/₆. Het kan ook de eerste keer mislukken (kans is ⁵/₆) en bij de laatste worp alsnog lukken (kans is ¹/₆). De kans op succes in twee worpen is dan ⁵/₆·¹/₆=⁵/₃₆.

De kans op succes in één of twee worpen komt hiermee op:

p(succes in één of twee worpen) = ¹/₆+⁵/₃₆ = ⁶/₃₆+⁵/₃₆ = ¹¹/₃₆ = ⁹⁹/₃₂₄ (Later zal blijken dat het handig is om in 324e delen te rekenen).

Nu de strategie waarbij je de 1 èn de 6 opnieuw gooit, in de hoop dat dit uiteindelijk een 4 oplevert met daarbij nog een 1 of een 6. Ook nu splitsen we dit in meerdere mogelijkheden hoe dit kan verlopen.

• Mogelijkheid 1: je gooit in één worp een 4 met daarbij een 1 of een 6.
  In de figuur hieronder zijn horizontaal de 6 mogelijke uitkomsten van de eerste dobbelsteen weergegeven, verticaal de uitkomsten van de tweede dobbelsteen.
  
  
  
  Er zijn 6·6=36 mogelijke uitkomsten bij het werpen met twee dobbelstenen, elk hokje geeft een mogelijke uitkomst weer. De gewenste uitkomst (een 4, met daarbij een 1 of een 6) zijn met kruisjes aangegeven. 4 van de 36 mogelijke uitkomsten leveren het gewenste resultaat, de kans is dus ⁴/₃₆=³⁶/₃₂₄.
  
• Mogelijkheid 2: bij de eerste worp gooi je wel een 4, maar daarbij geen 1 of 6. Je laat de 4 liggen, bij de tweede worp gooi je met de laatste dobbelsteen alsnog een 1 of een 6.
  In het rooster hieronder zie je dat er 7 mogelijkheden zijn om een 4 te gooien, maar daarbij niet een 1 of een 6.
  
  
  
  De kans op de genoemde eerste worp is zodoende ⁷/₃₆. Hierna moet je met de laatste dobbelsteen nog een 1 of een 6 gooien. De kans hierop is ²/₆=¹/₃.
  De kans om op deze wijze aan een grote straat te komen, komt dan op ⁷/₃₆·¹/₃=²¹/₃₂₄.
  
• Mogelijkheid 3: Bij de eerste worp gooi je géén 4. Je gooit beide dobbelstenen opnieuw en moet nu alsnog een 4 met daarbij een 1 of een 6 gooien.
  De kans om met een dobbelsteen géén 4 te gooien, is ⁵/₆. De kans om met twee dobbelstenen géén 4 te gooien komt dan op ⁵/₆·⁵/₆=²⁵/₃₆.
  Hierna moet je in één keer alsnog een 4 met daarbij een 1 of een 6 gooien. Deze kans hebben we bij mogelijkheid 1 al berekend: ¹/₉. De kans om via deze mogelijkheid aan een grote straat te komen, is zodoende ²⁵/₃₆·¹/₉=²⁵/₃₂₄.

De totale kans bij de strategie om zowel de 1 als de 6 opnieuw te gooien, is dan:

³⁶/₃₂₄+²¹/₃₂₄+²⁵/₃₂₄=⁸²/₃₂₄.

Conclusie:

De kans op succes bij de strategie waarbij je alleen de 1 of 6 opnieuw gooit, in de hoop dat dit een 4 wordt, is ⁹⁹/₃₂₄. De kans bij de strategie om zowel de 1 als de 6 opnieuw te gooien, is ⁸²/₃₂₄. Je hebt bij de eerste strategie dus een iets hogere kans.

GHvD
19-1-2025