WisFaq!

Isomorfie

(Z/8Z)* en (Z/10Z)* en (Z/12Z)* zijn alle drie isomorf met (Z/4Z,+).
(Z/10Z)* en (Z/4Z,+) zijn isomorf omdat de orden gelijk zijn: {1,2,4,4}

Waarom zijn (Z/8Z)* met orden {1,2,2,4} en (Z/12Z)* met orden {1,2,2,2} isomorf met (Z/4Z,+) met orden (1,2,4,4} ?

Gr, Jan

Herman
9-1-2025

Antwoord

Helaas, je eerste zin klopt niet.

De groep (\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^* is cyclisch want 3^2=9, 3^3=7, en 3^4=1, dus 3 brengt de groep voort. Dus inderdaad: (\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^* is isomorf met (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +).

Echter, (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^*=\{1,3,5,7\} en 3^2=5^2=7^2=1, dus deze groep is niet cyclisch. Idem voor (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^*=\{1,5,7,11\}: ook 5^2=7^2=11^1=1.
Deze twee groepen zijn dus isomorf met de Viergroep van Klein.

kphart
9-1-2025