WisFaq!

Isomorfie

(Z/8Z)* en (Z/10Z)* en (Z/12Z)* zijn alle drie isomorf met (Z/4Z,+).
(Z/10Z)* en (Z/4Z,+) zijn isomorf omdat de orden gelijk zijn: {1,2,4,4}

Waarom zijn (Z/8Z)* met orden {1,2,2,4} en (Z/12Z)* met orden {1,2,2,2} isomorf met (Z/4Z,+) met orden (1,2,4,4} ?

Gr, Jan

Jan
9-1-2025

Antwoord

Helaas, je eerste zin klopt niet.

De groep $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^*$ is cyclisch want $3^2=9$, $3^3=7$, en $3^4=1$, dus $3$ brengt de groep voort. Dus inderdaad: $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^*$ is isomorf met $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)$.

Echter, $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^*=\{1,3,5,7\}$ en $3^2=5^2=7^2=1$, dus deze groep is niet cyclisch. Idem voor $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^*=\{1,5,7,11\}$: ook $5^2=7^2=11^1=1$.
Deze twee groepen zijn dus isomorf met de Viergroep van Klein.

kphart
9-1-2025