WisFaq!

Re: Re: Chinese reststelling

Het eigenaardige is het volgende:
(Z/13Z)*=Z/12Z=Z/4Z*Z/3Z=Z/2Z*Z/2Z*Z/3Z
Ik tel hiermee 6 elementen met orde 6. Klopt niet: het zijn er 2.

(Z/72Z)*=Z/24Z=Z/4Z*Z/6Z=Z/2Z*Z/2Z*Z/2Z*Z/3Z
Ik tel hiermee 14 elementen met orde 6. Dit lijkt correct.

Vanwaar dit verschil?

jan
28-12-2024

Antwoord

Er is geen verschil, ze zijn beide niet correct.

Je maakt dezelfde fout als in je beginvraag. In je vorige vraag heb je correct geconcludeerd dat $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ niet isomorf is met $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
Waarom doe je dan toch alsof ze wel isomorf zijn?

Bij $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ moet je stoppen. Dan vind je daar twee elementen van orde $6$, namelijk $(2,1)$ en $2,2)$.

Idem voor $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$; daar staan twee fouten: de groep is niet isomorf met $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ (want $\mathrm{ggd}(4,6)=2$), en je doet daar de vorige fout nog even overheen.
Ook hier: stoppen bij $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, daar krijg je $(4,1)$ en $(4,2)$ als elementen van orde $6$ (die komen overeen met $4$ en $20$ in $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ zelf.

kphart
28-12-2024