WisFaq!

Re: Convergentie integraal

Bedankt voor uw uitleg. Begrijp ik het goed dat u de volgende bedoeld: Zonder verlies van algemeenheid stel dat y=0, anders doe de substitutie u=x-y. Gebruikmakend van poolcoördinaten krijgen we dat onze originele integraal gelijk is aan $\smallint $ $\smallint $ r^{-n-1}r^{n-1}d $\Omega $ dr waarbij de eerste integraal loopt van C tot +oneindig en de binnenste integraal over S^{n-1} de eenheidssfeer. Dit geeft dan Volume(S^{n-1})· $\smallint $ r^-2dr wat convergent is.

Rafik
12-12-2024

Antwoord

Nee, als je een plaatje tekent zie je dat de gegeven integraal niet gelijk is aan de integraal die je opschrijft.

Speciaal geval $z=y$: dan krijg je jouw integraal maar dan van $2C$ tot $\infty$.

Als $z\neq y$ dan integreer je over $A=\{x:\|x-z\|\ge2C\}$, dat gebied ligt binnen $B=\{x:\|x\|\ge C\}$ (teken een plaatje!). Omdat je functie positief is geldt dat jouw integraal, die over $A$, kleiner dan of gelijk is aan de integraal over $B$. En die tweede is de integraal die je opgeschreven hebt.

kphart
12-12-2024