WisFaq!

Topologische groep: uniform continu

Zij G een topologische groep. We zeggen dat een functie f:G- $>$ R uniform continu is als voor elke $\varepsilon $ $>$ 0 er een open omgeving U van de identiteit element e bestaat zodat voor elke x,y in G met x^-1y\in U, |f(x)-f(y)| $<$ $\varepsilon $ .

Mijn vraag is stel G is compact en f:G- $>$ R continu dus bijgevolg uniform continu zodat we zo een U hebben. Dan kunnen we G bedekken via x_1U $\cup $ … $\cup $ x_nU voor zeker x_i in G. Ik wil nu bewijzen dat max(f)-min(f) $<$ epsilon. We kunnen alvast zeker zeggen door de continuïteit van f op de compact G dat er een zekere x_max en x_min bestaat in G zodat max(f)=f(x_max) en min(f)=f(x_min). Maar ik weet niet hoe ik het verschil kan afschatten ik heb het gevoel dat ik gebruik moet maken van de eindige bedekking voor G want ik weet dat x_max $\in $ x_iU en x_min $\in $ x_jU. Ik wou aantonen dat x_max^-1x_min\in U want dan volgt het gevraagde door uniform continuïteit van f, maar zie niet echt hoe ik verder kan. Wilt u mij op de juiste weg zetten alvast bedankt!

Rafik
12-11-2024

Antwoord

Je openingszin van de tweede alinea is (al) fout: "$\ldots$ zodat we zo'n $U$ hebben." In je definitie hangt die $U$ van (de gegeven) $\varepsilon$ af. In je tweede alinea hebt je geen $\varepsilon$ genoemd, dus kun je ook niet "zo'n $U$" vinden.

Verder: als dit zou lukken voor elke willekeurige $\varepsilon$ dan zou $f$ een constante functie zijn, omdat kennelijk $\max(f)=\min(f)$.

Neem de cyklische groep van orde $2$, dus $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Die heeft twee elementen, $0$ en $1$. Definieer $f:G\to\mathbb{R}$ door $f(0)=0$ en $f(1)=1$. Dat geeft een continue functie met $\max(f)-\min(f)=1$.

Je vraag is dus niet goed gesteld. Of was de vraag toch anders?

kphart
12-11-2024