WisFaq!

Diagonaliseren matrices

Hoi,

Ik moet in de vraag Mⁿ berekenen van de matrix:
12 -15
10 -13

Ik krijg als antwoord:
-2·(-3)ⁿ+2·2ⁿ 3·(-3)ⁿ-2·2ⁿ
-2·(-3)ⁿ+3·2ⁿ 3·(-3)ⁿ-3·2ⁿ

In de uitwerkingen staat echter:
3·2ⁿ-3·(-3)ⁿ -3·2ⁿ+3·(-3)ⁿ
2·2ⁿ-2·(-3)ⁿ -2·2ⁿ+3·(-3)ⁿ

Wat er bij mij anders is, is dat bij Mⁿ = P · Dⁿ · P^-1 ik de kolommen heb omgedraaid van de P en D (t.o.v. de uitwerkingen).

Dit is dan weer afhankelijk van de volgorde van mijn eigenwaarden uit een kwadratische vergelijking. Mij is dan niet helemaal duidelijk wat er niet goed gaat, aangezien ik toch niet uit de vraag kan aflezen wat $\lambda $ 1 en wat $\lambda $ 2 is?

Alvast bedankt voor de reactie.

Dirk
2-10-2024

Antwoord

Het maakt voor deze vraag niet uit welke eigenwaarde je $\lambda_1$ noemt en welke $\lambda_2$.
De eigenwaarden zijn $-3$ met eigenvector $\binom{1}{1}$, en $2$ met eigenvector $\binom{3}{2}$.

In jouw antwoord staat een fout: het lijkt of je $\binom{2}{3}$ als eigenvector in eigenwaarde $2$ hebt genomen.

In het overgeschreven antwoord staat ook een fout: in de eerste kolom moet bij $(-3)^n$ twee keer $-2$ staan.

Of je nou
$$P=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}
\text{ en }
D=\begin{pmatrix} 2&0\\0&-3\end{pmatrix}
$$neemt, of
$$P=\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix}
\text{ en }
D=\begin{pmatrix} -3&0\\0&2\end{pmatrix}
$$het antwoord is
$$\begin{pmatrix}
-2\cdot(-3)^n+3\cdot 2^n & 3\cdot(-3)^n-3\cdot 2^n\\
-2\cdot(-3)^n+2\cdot 2^n & 3\cdot(-3)^n-2\cdot 2^n
\end{pmatrix}
$$

kphart
2-10-2024