WisFaq!

Kwadraatresten

ik reageer op vraag 20891.

p is oneven. hoe bewijs ik (2/p) = 1 als p mod 8 = +-1 en (2/p)=-1 als p mod 8 = +-3.
1) mbv lemma van gauss.
Ik weet dat 8 een deler is van p^2-1.
Maar dan?

2) mbv begrippen als priempolynoom, voortbrenger , ordes,
cyclische groepen, binomium van newton

Ik weet dat volgens Euler geldt: (2/p) = 2^[(p-1)/2].
Maar dan?

jan
25-7-2024

Antwoord

1. Met behulp van het Lemma van Gauss ben je er snel uit: schrijf de getallen $2$, $4$, $\ldots$, $2k$, $\ldots$, $2\cdot\frac{p-1}2$ op (alle veelvouden van $2$, tot en met het $(p-1)/2$-de dus).
Tel dan hoeveel daar van groter dan $(p-1)/2$ zijn, noem dat getal $m$. Dan geldt $\left(\frac2p\right)=(-1)^m$.
Als $p$ respectievelijk van de vorm $8n-3$, $8n-1$, $8n+1$, en $8n+3$ is krijgt je respectievelijk $m=2n-1$, $m=2n$, $m=2n$, en $m=2n+1$.

2. Hier weet ik niet zeker wat de bedoeling is, maar $2^{\frac{p-1}2}$ is wegens de kleine Stelling van Fermat inderdaad gelijk aan $-1$ of $1$ modulo $p$. Je moet dan kennelijk met behulp van de genoemde dingen laten zien dat de macht voor $p\equiv\pm1\pmod 8$ gelijk is aan $1$, en aan $-1$ anders.
Merk op: als $2^{\frac{p-1}2}\equiv1 \pmod p$ dan is $2$ geen voortbrenger van de vermenigvuldigingsgroep $\{1,2,\ldots,p-1\}$ modulo $p$ en als $2^{\frac{p-1}2}\equiv-1 \pmod p$ dan is $2$ dat wel.
Kijk onder de genoemde begrippen stellingen of er iets staat dat aangeeft wanneer $2$ een voortbrenger van die groep is.

kphart
26-7-2024