WisFaq!

Snijding kromme en niveaukrommen

Beste

In de bijlage staat de opdracht concreet uitgelegd, namelijk een snijpunt vinden met alle mogelijke niveaukrommen van de vorm x²y³ = K. Ik heb de grafiek hiervan ook getekend om een duidelijker zicht voor mezelf te maken. Maar ik heb moeilijkheden met het vinden van een kromme die aan de voorwaarde voldoet. Ik heb twee redeneringen: ofwel een kromme die afhangt van de waarde K, ofwel een cirkel met een straal die oneindig groot is. Maar voor eentje die afhankelijk is voor K vind ik niet direct eentje die ook voldoet aan de eerste voorwaarde, en de tweede is niet echt plausibel. Weet u hoe ik heer mee verder moet? (zie bijlage)
Alvast bedankt.

Jacob
4-1-2024

Antwoord

Je moet een differentiaalvergelijking opstellen.
Als $(x_0,y_0)$ op de kromme $x^2y^3=K$ ligt dan kun je de raaklijn aan de kromme in dat punt door impliciet differentiëren (doe alsof $y$ een functie van $x$ is):
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}x^2y^3=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}K
$$en dat wordt
$$2x\cdot y^3+x^2\cdot3y^2\cdot y'=0
$$of $y'=-\frac23\cdot y\cdot x^{-1}$.

Dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt $y'(x_0)=-\frac23\cdot y_0\cdot x_0^{-1}$.
De lijn daar loodrecht op heeft dan richtingscoëfficiënt $\frac32\cdot y^{-1}\cdot x$.

De functie die je kromme beschrijft moet dus altijd voldoen aan
$$y'(x)=\frac{3x}{2y}
$$Los die differentiaalvergelijking op en neem de oplossing die door $(2,-1)$ gaat. (Het is een hyperbool.)

kphart
4-1-2024