WisFaq!

Basisverandering

Beste

Ik kreeg een opgave met een lineaire afbeelding gedefinieerd ifv de basisvectoren, zie bijlage. Nu heb ik a, b, c opgelost, maar stoot ik tegen een muur bij d en e. Door de manier waarop de lineaire afbeelding gedefinieerd is, gaat de matrix vd lineaire afbeelding er dan niet altijd exact hetzelfde uizien, onafhankelijk van welke basis je kiest? En gaat de matrix van basisverandering dan niet gewoon de eenheidsmatrix zijn? Ik weet niet of ik in de juiste richting zit.
Alvast bedankt.

Jarno Vanhuyers
30-12-2023

Antwoord

Nee, de matrix hangt af van de basis, kijk nog eens goed naar de definitie van "matrix ten opzichte van een basis".
Je hebt kennelijk de eigenwaarden gevonden ($0$, $-2$, en $7$) en de bijbehorende eigenvectoren: respectievelijk $u_1$, $u_2$, en $u_3$.
Dan geldt $T(u_1)=\mathbf{0}$ (nulvector), $T(u_2)=-2u_2$, en $T(u_3)=7u_3$.
Dus de metrix van $T$ ten opzichte van $\{u_1,u_2,u_3\}$ is dan
$$\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-2&0\\0&0&7\end{pmatrix}
$$In de overgangsmatrix (zie de definitie) staan in de kolommen de coördinaten van respectievelijk $u_1$, $u_2$, en $u_3$, ten opzichte van de basis $\{v_1,v_2,v_3\}$.

kphart
30-12-2023