WisFaq!

Basis

Beste,

Kunnen we besluiten dat de standaardbasisvectoren e_n voor elke verzameling R_n een basis zullen zijn? Echter is dit dan strijdig met de stelling die zegt dat wanneer we een basis vinden met minder dan n elementen, alle basissen hetzelfde aantal elementen zullen hebben. Alvast bedankt.

Student
22-8-2023

Antwoord

De naam zegt het al: de standaardbasisvectoren vormen een basis voor $\mathbb{R}_n$. Je notatie is wat ongelukkig het klinkt, door het gebruik van alleen maar $e_n$ dat die vectoren onafhankelijk van de $\mathbb{R}_n$ bestaan.
Maar elke $\mathbb{R}_n$ heeft zijn eigen stel standaardbasisvectoren: $\{e_1,\ldots,e_n\}$, en elke $\mathbb{R}_n$ heeft weer een eigen $e_1$, in $\mathbb{R}_2$ geldt $e_1=(1,0)$, in $\mathbb{R}_4$ geldt $e_1=(1,0,0,0)$, enzovoort.

Je tweede `stelling' klopt niet helemaal; de voorwaarde "wanneer we een basis vinden met minder dan n elementen" is niet nodig.
De stelling zegt gewoon: alle basissen van een vectorruimte hebben hetzelfde aantal elementen.
Je kunt dus voor de $\mathbb{R}_n$ geen basis vinden met minder dan $n$ elementen.

kphart
24-8-2023