WisFaq!

Vergelijkingen oplossen met complexe getallen

Beste ik vroeg me af hoe je i moet overbrengen in een vergelijking?
Bijvoorbeeld voor de identiteit van Euler.
e^(ipi)+1=0
e^ipi=-1 deze regel heb ik in wolfram alpha ingegeven en zou kloppen
Hoe breng je de i over naar de andere kant?
pi=lni-1 is volgens wolfram alpha fout.
in wiskunde boeken vind ik niks terug van complexe vergelijkingen met overbrengingen van i.
alvast bedankt
Eric Mariman

Eric Mariman
7-7-2023

Antwoord

Het probleem met de complexe getallen is dat de $e$-macht periodiek is, met periode $2\pi i$, dus ook $e^{3i\pi}=-1$, en $e^{-i\pi}=-1$, en $e^{(2k+1)i\pi}=-1$ voor elk oneven geheel getal $k$.
De (natuurlijke) logaritme van $-1$ (en van elk complex getal ongelijk aan $0$) heeft dus oneindig veel waarden. Dat maakt dat de complexe getallen anders werken dan de reële getallen. Dankzij die oneindig veel waarden is het weer wel zo dat vergelijkingen van de vorm $z^k=a$ altijd $k$ oplossingen hebben.

Dus $i\pi=\ln(-1)$ is geen geldige gelijkheid; je kunt alleen zeggen dat $i\pi$ één van de oneindig vele waarden van $\ln(-1)$ is.

kphart
7-7-2023