WisFaq!

Tekenverloop bij absolute waarde

Geachte,
Kunt u mij helpen bij het volgende probleem?
Gegeven is de functie f(x)= (x-1)|x²-4|
Hoe maak ik hierbij een tekenverloop met x, f'(x), f"(x) en f(x)?
Ik begrijp, dat je de functie moet splitsen in: x $<$ -2 of x $>$ 2 en -2 $<$ x $<$ 2 ( moeten hierbij ook gelijktekens staan?)
Dan is er 2 maal hetzelfde buigpunt bij x = ¹/₃. Maar dat ene buigpunt vervalt bij x $<$ -2 of x $>$ 2.
Ik zie dat de grafiek bol is bij x $<$ -2, hol bij -2 $<$ x $<$ ¹/₃, bol als
¹/₃ $<$ x $<$ 2 en hol als x $>$ 2.
Maar welke waarden zet ik bij x=2 en bij x=-2? (14 of -14 en 10 of -10?
Kortom, hoe maak ik een mooi tekenoverzicht bij een functie met een absolute waarde??

Bij voorbaat erg bedankt voor uw hulp!

Kirsten

Kirsten
2-6-2023

Antwoord

Hallo Kirsten,

Voor x$ \le $ -2 en x$ \ge $ -2 is x²-4$ \ge $ 0, dus dan mag je de absoluutstrepen ook weglaten. Hier geldt dus: f₁(x)=(x-1)(x²-4). Voor -2 $<$ x $<$ 2 is x²-4 $<$ 0, dus daar kan je f(x) schrijven als:
f₂(x)=(x-1)*-(x²-4), ofwel: f₂(x)=-(x-1)(x²-4).
Voor x=2 of x=-2 maakt het eigenlijk niet uit welke van deze twee vormen je gebruikt: de functiewaarde is in beide gevallen 0. Maar het is niet netjes om voor x=2 twee verschillende functievoorschriften te gebruiken. Dus je gebruikt:

òf x$ \le $ 2, -2 $<$ x $<$ 2 en x$ \ge $ 2,
òf x $<$ 2, -2$ \le $ x$ \le $ 2 en x $>$ 2.

Zelf vind ik de eerste iets logischer, omdat x$ \le $ 2 en x$ \ge $ 2 intervallen aangeven waarbij de absoluutstrepen geen invloed hebben.

Voor het tekenschema van f(x) bekijk je eerst waar f(x)=0. Je vindt x=-2, x=1 en x=2. vervolgens onderzoek je wat het teken van f(x) is tussen deze nulpunten. Dan zie je:
x $<$ -2: f(x) $<$ 0.
x=-2: f(x)=0
-2 $<$ x $<$ 1: f(x) $<$ 0
x=1: f(x)=0
1 $<$ x $<$ 2: f(x) $>$ 0
x=2: f(x)=0
x $>$ 2: f(x) $>$ 0.

Voor het tekenverloop van f'(x) bepaal je eerst de afgeleide van beide vormen f₁(x) en f₂(x), waarbij je beide vormen natuurlijk alleen mag toepassen op het bijbehorende domein. Maar let op: bij x=-2 en x=2 bestaat f'(x) niet, want de limiet vanaf links van (f(x+h)-f(x))/h voor h naar nul is niet gelijk aan de limiet vanaf rechts. In de grafiek zie je dit doordat bij x=-2 de helling aan de linker kant anders is dan de helling aan de rechter kant. Er zit een knik in de grafiek.
Voor het tekenschema bereken je weer waar f'(x)=0. Je vindt x=^(1-√13)/₃ en x=^(1+√13)/₃. Bepaal dan het teken op de volgende intervallen:
x $<$ -2
-2 $<$ x $<$ ^(1-√13)/₃
^(1-√13)/₃ $<$ x $<$ ^(1+√13)/₃
^(1+√13)/₃ $<$ x $<$ 2
x $>$ 2
Bedenk: bij x=-2 en x=2 bestaat f'(x), niet, dus hier geen teken.

Voor het tekenverloop van f''(x) ga je op gelijksoortige wijze te werk:
Bepaal f''(x), zoek nulpunten, bedenk dat f''(x) niet bestaat bij x=-2 en x=2, en bepaal het teken op elk relevant interval.

Lukt het hiermee?

GHvD
3-6-2023