WisFaq!

Integraal met wortel

Ik begrijp dat de oplossing (9/wortel(5)) maal de ln van de absolute waarde van wortel(5) maal x + wortel (5x^2-16) is, maar zou de oplossing ook 9/(wortel(5) maal i) maal de Bgsin van (wortel(5) maal x / 4) kunnen zijn? Als je de wortel van -16 afsplitst in het begin krijg je 4i met i^2=-1 toch?

OPA
10-5-2023

Antwoord

Dat geeft problemen als je dit gebruikt om bepaalde integralen over reele intervallen uit te rekenen.
In
$$\int\frac{9}{\sqrt{5x^2-16}}\,\mathrm{d}x
$$hebben we het over $x$-en waarvoor $5x^2-16\ge0$, en dus $|x|\ge\frac{4}{\sqrt5}$.
Maar in
$$\operatorname {Bgsin}\frac{\sqrt5 x}{4}
$$moet juist gelden dat $|x|\le\frac{4}{\sqrt5}$. Dat is vervelend. En dan hebben we het ook nog niet over de $i$ in het antwoord; die maakt een reëel antwoord imaginair.

Overigens kan het wel; in de Complexe Analyse kun je $\operatorname {Bgsin}$ in de logaritme uitdrukken:
$$\operatorname {Bgsin} z = \frac1i\log(iz+\sqrt{1-z^2})
$$maar daar moet je heel voorzichtig mee zijn want logaritmen en wortels hebben meer dan één waarde in het complexe vlak.

kphart
10-5-2023