WisFaq!

Onderzoek 4x(1-x)

Geachte,

Er wordt gevraagd om het volgende te onderzoeken/ berekenen.
Gegeven de functie xn ← 4⋅xn–1(1–xn–1)
met x1 = sin2( 2π( 1/3 + 1/31 + 1/32 ) )
wat zijn x11, x111 en x1111 ?

Nu, ik heb geen idee hoe ik hier aan moet beginnen want op het eerste zicht lijkt het vrij complex om te berekenen.

Kan uw mij verder helpen?

Alvast bedankt

Yosra

Yosra
10-3-2023

Antwoord

Ik hoop dat er het volgende staat: $x_1=\sin^2\alpha$, met $\alpha=2\pi(\frac13+\frac1{31}+\frac1{32})$.
In dat geval werkt de recursie $x_n=4x_{n-1}(1-x_{n-1})$ heel mooi:
$$x_2=4\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha)=4\sin^2\alpha\,\cos^2\alpha=(2\sin\alpha\,\cos\alpha)^2 =\sin^22\alpha
$$Het lijkt er dus op dat je elke keer de hoek verdubbelt.

Onderzoek dat eens.

kphart
10-3-2023