WisFaq!

Norm van een matrix

beste

ik moet het volgende bewijzen over de som-norm van een matrix A: ||A||=max_[1$ \le $ j$ \le $ m]( $\sum $ [i=1]^[n]|a_[ij]|).

dit zijn mijn gegevens:
in een matrix ruimte L( $\mathbf{R}$ ^m, $\mathbf{R}$ ^n) wordt de operatornorm gedefinieerd als ||A||_[op]:=sup{||A(x)|| met ||x||$ \le $ 1}, met ||.|| een norm in $\mathbf{R}$ ^m en in $\mathbf{R}$ ^n. ( we nemen dezelfde norm in beide ruimten). ik mag gebruik maken van de definitie van de som-norm in $\mathbf{R}$ ^n, namelijk ||x||_s= $\sum $ ^[i=1]^n|x_i|

ik weet echt niet hoe ik hier aan moet beginnen

in bijlage is er nog een foto van de effectieve vraag, voor de duidelijkheid.

alvast bedankt!

kasper van Gaever
1-3-2023

Antwoord

Wat ik zou doen is klein beginnen, met een expliciete $m$ en $n$, bijvoorbeeld $m=n=2$, dan kun je de formules uitschrijven.
Dus
$$A=\begin{pmatrix} a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}
$$En dan geldt voor een vector $x=\binom{x_1}{x_2}$ dat
$$Ax = \begin{pmatrix} a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}
\binom{x_1}{x_2}
=\binom{a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2}{a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2}
$$en dus
$$\|Ax\|_\Sigma = |a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2|+|a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2|
$$we kunnen dit via de driehoeksongelijkheid overschatten met
$$|a_{1,1}||x_1|+|a_{1,2}||x_2|+|a_{2,1}||x_1|+|a_{2,2}||x_2|=
|x_1|(|a_{1,1}|+|a_{2,1}|)+|x_2|(|a_{1,2}|+|a_{2,2}|)
$$Schrijf nu $K=\max\{|a_{1,1}|+|a_{2,1}|,|a_{1,2}|+|a_{2,2}|\}$; dan vinden we uiteindelijk
$$\|Ax\|_\Sigma \le K(|x_1|+|x_2|) = K\|x\|_\Sigma
$$Conclusie: $\|A\|_\Sigma \le K$.

Als je nu nog een vector $x$ kunt vinden met $\|x\|_\Sigma=1$ en $\|Ax\|_\Sigma=K$ dan heb je bewezen dat $\|A\|_\Sigma = K$.

En als je dit goed begrepen hebt is het algemene geval niet moeilijk meer.

kphart
1-3-2023