WisFaq!

Bewijs met Stifel-Pascal

Ik hoop dat iemand mij kan helpen om het bewijs met stifel-pascal te laten zien met onderstaande:

De eerste regel is de teller en de tweede regel is de noemer. krijg het niet goed voor elkaar in dit overzicht. waar () staat hoort zowel de n+3 en P+3 in als voorbeeld

n+3 n n n n
(p+3) = (p) + 3 (p + 1) + 3 (p + 2) + (p + 1)

majorie
18-11-2022

Antwoord

Het lijkt erop dat je dit wilt hebben:
$$\binom{n+3}{p+3}=\binom np+3\binom{n}{p+1}+3\binom{n}{p+2}+\binom{n}{p+3}
$$(Die laatste moet $p+3$ hebben, dat zien we zo.)
Je past de formule consequent toe:
$$\binom{n+3}{p+3}=\binom{n+2}{p+2}+\binom{n+2}{p+3}
$$Dan op beide termen, en samenvoegen:
$$\binom{n+1}{p+1}+\binom{n+1}{p+2}+\binom{n+1}{p+2}+\binom{n+1}{p+3}=
\binom{n+1}{p+1}+2\binom{n+1}{p+2}+\binom{n+1}{p+3}
$$En nog een keer
$$\binom np +\binom n{p+1}+2\left(\binom n{p+1}+\binom n{p+2}\right)+\binom n{p+2}+\binom n{p+3}
$$Nu nog een keer samenvoegen.

kphart
18-11-2022