WisFaq!

Inverse van een matrix

Hoe kun je bewijzen dat de inverse van een matrix inderdaad gelijk is aan adj(A)/det(A)?

Alvast bedankt!

Bregt
17-10-2022

Antwoord

Door de vermenigvuldiging met $A$ uit te schrijven en op te merken dat je op de diagonaal op de $i$-de plaats de ontwikkeling van $\det A$ krijgt naar de $i$-de rij (of $i$-de kolom, dat hangt van de volgorde van vermenigvuldiging af).
Buiten de diagonaal op de plaats $(i,j)$ krijg de de determinant van de matrix die overal gelijk is aan $A$, maar waarbij de $i$-de en $j$-de rij gelijk zijn (aan de $i$-de rij van $A$) (of met gelijke $i$-de en $j$-de kolom) en die heeft determinant gelijk aan $0$.
Probeer het maar eens voor $2\times2$ en $3\times 3$, dan zie je het patroon wel verschijnen.

kphart
17-10-2022